Kombinace

Šablona:Různé významy

Kombinace je neuspořádaná k-tice vytvořená z celkového počtu n prvků, přičemž nezáleží na pořadí vybraných prvků. Rozlišujeme kombinace s opakováním a bez opakování. Pro výpočet hodnoty je používán faktoriál. Kombinace jsou základním pojmem z kombinatoriky. Variace se odlišují tím, že u nich je výběr uspořádaný (záleží na pořadí vybraných prvků).^[1]

Kombinace bez opakování

Počet kombinací $k$ -té třídy z $n$ -prvků bez opakování, neuspořádaných $k$ -tic vybraných z těchto prvků tak, že se v ní každý vyskytuje nejvýše jednou, je:

C (k, n) = (\binom{n}{k}) = \frac{n!}{k! (n - k)!}

kde symbol $(\binom{n}{k})$ představuje kombinační číslo „n nad k“.^[1]

Někdy se používá zápis s indexem nebo místo písmene $C$ písmeno $K$ , takže následující zápisy jsou rovnocenné: $C (k, n) = C_{k} (n) = K_{k} (n)$ .^[2]^[3]

Odvození výpočtu

Počet kombinací zde odvodit tak, že počet všech variací vydělíme $k!$ (tj. počtem permutací každé $k$ -tice), protože všechny možné permutace vybraných prvků v kombinacích nepotřebujeme:^[1]^[4]

C (k, n) = \frac{V (k, n)}{k!} = \frac{n!}{(n - k)!} \cdot \frac{1}{k!} = \frac{n!}{(n - k)! \cdot k!}

Kombinace s opakováním

Počet kombinací $k$ -té třídy z $n$ prvků s opakováním, tzn. každý prvek se ve výběru může objevit vícekrát, je určen vztahem:^[3]

C^{'} (k, n) = (\binom{(n + k - 1)}{n - 1}) = (\binom{(n + k - 1)}{k}) = \frac{(n + k - 1)!}{k! (n - 1)!}

Vysvětlení

Kombinace bez opakování

Mějme skupinu tří prvků $a, b, c$ , tzn. $n = 3$ . Chceme-li z těchto prvků vybrat vždy jen jeden prvek, můžeme to udělat třemi možnými způsoby, tzn. vybereme $a$ nebo $b$ nebo $c$ . Jedná se o kombinaci první třídy, tzn. $k = 1$ , a tedy počet výběrů je roven:

C (1, 3) = (\binom{3}{1}) = \frac{3!}{1! \cdot (3 - 1)!} = \frac{3 \cdot 2!}{2!} = 3

Chceme-li z uvedené trojice prvků vybrat vždy dva, přičemž nám nezáleží na pořadí a žádný prvek nemůžeme vybrat vícekrát, můžeme získat následující dvojice prvků: $a b$ , $a c$ , $b c$ . Jedná se o kombinaci druhé třídy (tedy $k = 2$ ) bez opakování. Pro počet dvojic pak dostáváme

C (2, 3) = (\binom{3}{2}) = 3

Pokud chceme z uvedené trojice prvků vybrat vždy tři, přičemž nám nezáleží na pořadí a žádný prvek nemůžeme vybrat vícekrát, můžeme získat pouze jedinou trojici prvků: $a b c$ . Jedná se o kombinaci třetí třídy (tedy $k = 3$ ) bez opakování. Pro počet trojic tedy platí

C (3, 3) = (\binom{3}{3}) = 1

Kombinace s opakováním

Mějme skupinu dvou prvků $a, b$ , tzn. $n = 2$ . Chceme-li z těchto prvků vybrat vždy jen jeden prvek, můžeme to udělat dvěma možnými způsoby, tzn. vybereme $a$ nebo $b$ . Jedná se o kombinaci první třídy, tzn. $k = 1$ , a tedy počet výběrů je roven:

C^{'} (1, 2) = (\binom{(2 + 1 - 1)}{1}) = (\binom{2}{1}) = 2

Je vidět, že u kombinací první třídy není třeba rozlišovat, zda jsou s opakováním nebo bez opakování.

Chceme-li z uvedené dvojice prvků vybrat vždy dva, přičemž nám nezáleží na pořadí a každý prvek můžeme vybrat vícekrát, můžeme získat následující dvojice prvků: $a a$ , $a b$ , $b b$ . Jedná se o kombinaci druhé třídy (tedy $k = 2$ ) s opakováním. Pro počet dvojic pak dostáváme:

C^{'} (2, 2) = (\binom{(2 + 2 - 1)}{2}) = (\binom{3}{2}) = 3

Obdobně bychom dostali $C^{'} (3, 2) = (\binom{(2 + 3 - 1)}{3}) = (\binom{4}{3}) = 4$ , atd.

Příklady

Příklad 1

Jaký je počet možných různých tahů Sportky, kde se z celkem 49 čísel náhodně vybírá 6 čísel (tj. kolik různých sázek lze vytvořit)?^[1]

Nezáleží na výsledném pořadí vylosovaných čísel, a proto se jedná o kombinace. Protože vylosované číslo už nemůže být znovu vylosováno, jsou to kombinace bez opakování:

C (6, 49) = (\binom{49}{6}) = \frac{49!}{6! \cdot (49 - 6)!} = \frac{49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44 \cdot 43!}{720 \cdot 43!} = \frac{49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44}{720} = 13 983 816

Celkem je možných téměř 14 miliónů různých sázek, přičemž hlavní výhru (tj. uhodnout všechna vsazená čísla) může jen jedna z těchto všech možností.

Příklad 2

Kolik je různých možností nákupu 5 porcí zmrzliny, když je na výběr z 10 druhů?^[5]

Nezáleží na výsledném pořadí vylosovaných čísel, a proto se jedná o kombinace. Protože je možné koupit více porcí stejného druhu, jsou to kombinace s opakováním:

C^{'} (5, 10) = (\binom{(10 + 5 - 1)}{5}) = \frac{14!}{5! \cdot (10 - 1)!} = \frac{14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9!}{5! \cdot 9!} = \frac{240 240}{120} = 2 002

Celkem je 2002 možností nákupu.

Odkazy

Literatura

Šablona:Citace monografie

Reference

Související články

Externí odkazy

Šablona:Autoritní data

[:0-1] 1,0 ^1,1 ^1,2 ^1,3 Šablona:Citace elektronického periodika

[2] Šablona:Citace elektronické monografie

[:1-3] 3,0 ^3,1 Šablona:Citace elektronického periodika

[4] Šablona:Citace elektronického periodika

[5] Šablona:Citace elektronického periodika

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

Kombinace

Obsah

Kombinace bez opakování

Odvození výpočtu

Kombinace s opakováním

Vysvětlení

Kombinace bez opakování

Kombinace s opakováním

Příklady

Příklad 1

Příklad 2

Odkazy

Literatura

Reference

Související články

Externí odkazy

Navigační menu

Kombinace

Kombinace bez opakování

Odvození výpočtu

Kombinace s opakováním

Vysvětlení

Kombinace bez opakování

Kombinace s opakováním

Příklady

Příklad 1

Příklad 2

Odkazy

Literatura

Reference

Související články

Externí odkazy

Navigační menu

Hledat