Gama funkce

Gama funkce (někdy také označovaná jako Eulerův integrál druhého druhu) je zobecněním faktoriálu pro obor komplexních čísel. Používá se v mnoha oblastech matematiky, např. pro popis některých rozdělení pravděpodobnosti.

Funkce je značena pomocí řeckého písmene gama a je definována jako holomorfní rozšíření integrálu:

Γ (z) = \int_{0}^{\infty} t^{z - 1} e^{- t} d t

Ačkoliv integrál samotný konverguje jen, je-li reálná část z kladná, gama funkce je definována pro libovolné komplexní číslo, kromě nekladných celých čísel.

Vlastnosti

Funkce $Γ$ je spojitá pro $z > 0$ . Funkce $Γ$ diverguje pro celá $z \leq 0$ . Tyto body jsou póly prvního řádu a odpovídající rezidua jsou ${Res}_{z = k, k \in ℤ, k \leq 0} Γ (z) = \frac{(- 1)^{- k}}{Γ (- k)}$ . Jiné singularity nemá a jedná se tedy o funkci meromorfní v celém oboru $ℂ$ .

Pro n-tou derivaci platí vztah

Γ^{(n)} (z) = \int_{0}^{\infty} t^{z - 1} e^{- t} \ln^{n} t d t

.

V oblasti kladných reálných čísel má gama funkce minimum v bodě $x \approx 1, 461 6$ .

Užitečné vztahy

Pro přirozená čísla $n$ platí $Γ (n) = (n - 1)!$
Pro kladná polocelá čísla můžeme psát pomocí dvojného faktoriálu

Γ (\frac{n}{2}) = \sqrt{π} \frac{(n - 2)!!}{2^{\frac{n - 1}{2}}}

$Γ (z + 1) = z Γ (z)$
$Γ (z) Γ (1 - z) = \frac{π}{\sin π z} pro 0 < z < 1$
$Γ (z) Γ (z + \frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{π}}{2^{2 z - 1}} Γ (2 z)$

Některé hodnoty


$x$	$Γ (x)$
$- 2$	nedefinováno
$- \frac{3}{2}$	$\frac{4 \sqrt{π}}{3}$
$- 1$	nedefinováno
$- \frac{1}{2}$	$- 2 \sqrt{π}$
$0$	nedefinováno
$\frac{1}{2}$	$\sqrt{π}$
$1$	$0! = 1$
$\frac{3}{2}$	$\frac{\sqrt{π}}{2}$
$2$	$1! = 1$
$\frac{5}{2}$	$\frac{3 \sqrt{π}}{4}$
$3$	$2! = 2$
$\frac{7}{2}$	$\frac{15 \sqrt{π}}{8}$
$4$	$3! = 6$