Reziduum (matematika)

Vyjádříme-li meromorfní funkci $f(z)$ v okolí jejího izolovaného singulárního bodu $z_0$ Laurentovou řadou (pro $z\ne z_0$), pak číslo $a_{-1}$ se nazývá reziduum funkce $f(z)$ v bodě $z_0$.

Na základě vyjádření koeficientů Laurentova rozvoje získáme

$a_{-1}=\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}{\oint }_{c}f(z)\mathrm{d}z$

Reziduová věta

Mějme jednoduchou konečnou po částech hladkou uzavřenou křivku $c$, která je kladně orientovaná vzhledem ke svému vnitřku $𝐆$. Uvažujme funkci $f(z)$, která je v $𝐆$ holomorfní s výjimkou konečného počtu singulárních bodů $z_1,z_2,...,z_n$ a s výjimkou těchto bodů spojitá v $𝐆\cup c$. Pak integrál

$\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}{\oint }_{c}f(z)\mathrm{d}z$

je roven součtu reziduí funkce $f(z)$ v bodech $z_1,z_2,...,z_n$, tzn.

$\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}{\oint }_{c}f(z)\mathrm{d}z=\sum _{k=1}^n\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{s}{[f(z)]}_{z=z_k}$,

kde $\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{s}{[f(z)]}_{z=z_k}$ označuje reziduum funkce $f(z)$ v bodě $z_k$.

Výpočet reziduí

Má-li meromorfní funkce f definovaná alespoň na okolí D = {z: 0 < |z-c| < R, R > 0} v bodě c pól prvního řádu, potom je reziduum určeno jako:

$\mathrm{Res}{\left[f\right]}_{z=c}=\underset{z\to c}{\lim }(z-c)f(z),$

nebo přímo použitím reziduové věty

$\mathrm{Res}{\left[f\right]}_{z=c}=\frac{1}{2\pi i}\underset{\gamma }{\int }f(z)dz$

kde kladně orientovaná křivka γ tvoří kruh kolem c o poloměru ε, kde ε je libovolně malé.

Reziduum funkce f(z)=g(z)/h(z) mající v c pól prvního řádu, kde g a h jsou holomorfní funkce v okolí c a zároveň h(c) = 0, g(c) ≠ 0, je dáno jako

$\mathrm{Res}{\left[f\right]}_{z=c}=\frac{g(c)}{h^{\prime }(c)}.$

Obecněji je reziduum funkce f v bodě z = c mající v c pól řádu n vyjádřeno jako:

$\mathrm{Res}{\left[f\right]}_{z=c}=\frac{1}{(n-1)!}\cdot \underset{z\to c}{\lim }{\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\right)}^{n-1}(f(z)\cdot (z-c{)}^n).$

Může-li být f holomorfně rozšířena na celý disk { z : |z − c| < R }, potom Res[f]_z=c = 0. Opačné tvrzení obecně neplatí.

Související články

• Laurentova řada