Reálná osa
Reálná osa je v matematice přímka, jejíž body jsou reálná čísla. Reálná osa je tedy množina Šablona:Math všech reálných čísel chápaná jako geometrický prostor, konkrétně Eukleidovský prostor dimenze jedna. Reálnou osu můžeme také chápat jako vektorový prostor (nebo afinní prostor), metrický prostor, topologický prostor, prostor s mírou nebo lineární kontinuum.
Jako pouhá množina reálných čísel se reálná osa obvykle označuje symbolem Šablona:Math (nebo alternativně použitím , písmeno „R“ v blackboard bold). Někdy se však také označuje Šablona:Math, aby se zdůrazila jeho role jako prvního eukleidovského prostoru.
Tento článek se zaměřuje na aspekty Šablona:Math jako geometrického prostoru v topologii, geometrii a reálné analýze. Reálná čísla také hrají důležitou roli v algebře jako komutativní těleso, ale v tomto kontextu se Šablona:Math obvykle neoznačuje za osu. Další informace o Šablona:Math jsou v článku Reálné číslo.
Jako lineární kontinuum
Reálná osa je lineární kontinuum se standardní relací uspořádání Šablona:Math. Konkrétně reálná osa je lineárně uspořádaná relací Šablona:Math a toto uspořádání je husté a má vlastnost suprema.
Kromě výše uvedených vlastností nemá reálná osa žádný největší nebo nejmenší prvek. Také má spočetnou hustou podmnožinu, kterou je množina racionálních čísel. Platí věta, že libovolné lineární kontinuum se spočetnou hustou podmnožinou bez maximálního a minimálního prvku je isomorfní vůči uspořádání s reálnou osou.
Reálná osa také vyhovuje podmínce spočetných řetězů: každá kolekce vzájemně disjunktních, neprázdných podmnožin otevřeného intervalu v Šablona:Math je spočetná. V teorie uspořádání proslulá Suslinova hypotéza žádat zda každé lineární kontinuum vyhovující podmínka spočetných řetězů, která nemá žádný maximální nebo minimální prvek, je nutně izomorfní podle pořadí na Šablona:Math. Toto tvrzení se uvádí jako nezávislé na standardním axiomatickém systému teorie množin známém jako Zermelova–Fraenkelova teorie množin.
Jako metrický prostor
Reálná osa tvoří metrický prostor, s funkcí vzdálenosti danou absolutní hodnotou rozdílu:
Metrický tenzor je jasně jednorozměrná Eukleidovská metrika. Protože Šablona:Mvar-rozměrný Eukleidovská metrika může být reprezentována v matice form jako Šablona:Mvar × Šablona:Mvar jednotková matice, metrika na reálná osa je jednoduše 1 × 1 jednotková matice, tj. 1.
Pokud Šablona:Math a Šablona:Math, pak Šablona:Mvar-koule v Šablona:Math se středem v Šablona:Mvar je jednoduše otevřený interval Šablona:Math.
Tato reálná osa má několik důležité vlastnosti jako metrický prostor:
- Reálná osa je úplný metrický prostor v tom smyslu, že libovolná Cauchyovská posloupnost bodů konverguje.
- Reálná osa je souvislá množina a je jedním z nejjednodušších příkladů Geodetického metrického prostoru.
- Hausdorffova míra reálné osy se rovná jedné.
Jako topologický prostor
Reálná osa nese standardní topologii, která může být zavedena dvěma různými ekvivalentními způsoby. Nejdříve protože reálná čísla jsou lineárně uspořádaná, nesou topologii uspořádání. Potom reálná čísla dědí metrický prostor z výše definované metriky. Řád topologie a metrika topologie na Šablona:Math jsou stejné. Jako topologický prostor je reálná osa homeomorfní s otevřeným intervalem Šablona:Math.
Reálná osa je triviální topologickou varietou dimenze jedna. Až na homeomorfismus je jednou z pouze dvou různých souvislých 1-variet bez hranice, přičemž druhou je kružnice. Také má na sobě standardní derivovatelnou strukturu, což z ní činí derivovatelnou varietu. (Až na difeomorfismus existuje pouze jedna derivovatelná struktura, kterou podporuje topologický prostor.)
Reálná osa je lokálně kompaktní prostor a parakompaktní prostor, i druhý spočetný prostor a normální prostor. Reálná osa je také souvislou množinou a proto je také souvislá, i když se odstraněním jakéhokoli jednoho bodu se stane nesouvislou. Reálná osa je také kontraktibilní a jako takové všechny její homotopické grupy a grupy redukované homologie jsou nulové.
Jako lokálně kompaktní prostor je možné reálnou osu kompaktifikovat několika různými způsoby. Jednobodová kompaktifikace Šablona:Math je kružnice (jmenovitě reálná projektivní osa) a na přidaný bod můžeme pohlížet jako na nekonečno bez znaménka. Alternativně má reálná osa dva konce a výsledkem kompaktifikace je rozšířená reálná osa Šablona:Math. Existuje také Stonova–Čechova kompaktifikace reálné osy, při které se přidává nekonečný počet bodů.
V určitých kontextech je užitečné použít na množině reálných čísel jinou topologii, například topologii polouzavřených intervalů nebo Zariského topologii, která je pro reálná čísla totéž jako topologie konečných doplňků.
Jako vektorový prostor
Reálná osa je vektorový prostor nad komutativním tělesem Šablona:Math reálných čísel (tj. nad sebou samým) dimenze jedna. Disponuje obvyklým násobením jako unitární prostor, což z ní činí Eukleidovský prostor. Norma definovaná vztahem tohoto vnitřního součinu je jednoduše absolutní hodnota.
Jako prostor s mírou
Reálná osa nese kanonickou míru, jmenovitě Lebesgueovu míru. Tato míra může být definovaná jako zúplnění Borelovské míry definované na Šablona:Math, kde míra jakéhokoli intervalu je délkou tohoto intervalu.
Lebesgueova míra na reálné ose je jedním z nejjednodušších příkladů Haarovy míry na lokálně kompaktní grupě.
V reálných algebrách
Reálná osa je jednorozměrný podprostor reálné algebry A kde R ⊂ A.Šablona:Clarify Například v komplexní rovině z = x + iy, podprostor {z : y = 0} je reálná osa. Podobně v algebře kvaternionů
- q = w + x i + y j + z k
je reálná osa jejím podprostorem {q : x = y = z = 0 }.
Pokud reálná algebra je direktním součtem pak konjugace na A je definována zobrazením podprostoru V. Reálná osa díky tomu sestává z pevných bodů konjugace.