Hausdorffova míra

Šablona:Upravit Hausdorffova míra (dále ${𝐇}^s$) je „nížedimenzionální“ míra na ${ℝ}^n$, která dovoluje měřit jisté „velmi malé“ podmnožiny ${ℝ}^n$. Zavedl ji Felix Hausdorff. Základní myšlenkou je, že množina $𝐀$ je „s-dimenzionální“ podmnožina množiny ${ℝ}^n$, platí-li

$0<H^s(A)<\mathrm{\infty }$,

i když $𝐀$ je velmi komplikovaná. ${𝐇}^s$ je definovaná jako výraz obsahující součet průměrů dobrého spočetného pokrytí.

Formální definice Hausdorffovy míry

Definice: Nechť $𝐀\subset {ℝ}^n,0\le s<\mathrm{\infty },0<\delta \le \mathrm{\infty }$ Definujme

$(i){𝐇}_{\delta }^s(A)=\inf \left\{\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\alpha (s){\left(\frac{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}(C_i)}{2}\right)}^s\right|A\subset \bigcup _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{C}_j,\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}(C_j)\le \delta \},$

kde

$\alpha (s)=\frac{{\pi }^{\frac{s}{2}}}{\mathrm{\Gamma }(\frac{s}{2}+1)}$

tady

$\mathrm{\Gamma }(r)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x}{x}^{r-1}dx,(0<r<\mathrm{\infty }),$

je obyčejná gamma funkce.

$\mathbf{(}ii)$Pro $𝐀$ a $𝐬$ s vlastnostmi jako výše, definujme:

$H^s(A)=\underset{\delta \to 0}{\lim }{H}_{\delta }^s(A)=\underset{\delta >0}{\sup }{H}_{\delta }^s(A)$

${𝐇}^s$ nazveme s-dimenzionální Hausdorffovou mírou na ${ℝ}^n$.

Elementární vlastnosti Hausdorffovy míry

${𝐇}^s$ je Borelova regulární míra pro $0\le s<\mathrm{\infty }$, není ale Radonova míra.
Z toho plyne následující:

$(i){𝐇}_{\delta }^s$ je míra.
$(ii){𝐇}^s$ je míra.
$(iii){𝐇}^s$ je borelovská míra.

Další zajímavé vlastnosti:

$(i){𝐇}^0$ je čítací míra.
$(ii){𝐇}^1={𝐋}^1$ na ${ℝ}^n$, kde ${𝐋}^1$ je Lebesgueova míra.
$(iii){𝐇}^s=0$ na ${ℝ}^n$ pro všechna $𝐬>𝐧$.
$(iv){𝐇}^s(\lambda A)={\lambda }^s{𝐇}^s(A)$ pro všechna $\lambda >0,A\subset {ℝ}^n$.
$(v){𝐇}^s(L(A))={𝐇}^s(A)$ pro všechny afinní isometrie $L:{ℝ}^n\to {ℝ}^n,A\subset {ℝ}^n$.

Literatura

• Steven G. Krantz: Measure Theory and Fine Properties of Functions,
• CRC Press LLC, London 2000, Šablona:ISBN.