Aritmetická míra

Aritmetická míra, též čítací míra nebo počítací míra, je mírou používanou hlavně v diskrétních systémech. Neformálně je to funkce, která množině přiřazuje počet jejích prvků.

Definice

Mějme měřitelný prostor $(X,𝒫(X))$, kde $X$ je libovolná množina a $𝒫$ značí potenční množinu ($𝒫(X)$ je speciální případ σ-algebry na $X$). Na takovém prostoru definujeme aritmetickou míru pro $A\in 𝒫(X)$ takto:

$\alpha (A)=\{\begin{array}{cc}|A|& \text{pokud A je konečná množina}\\ \mathrm{\infty }& \text{pokud A není konečná}\end{array}$

Vztah sumy a integrálu

Aritmetická míra umožňuje zavést sumu jako speciální případ integrálu (Lebesgueova). Jelikož je každá podmnožina $\mathbb{N}$ měřitelná, tak pro každou funkci (resp. posloupnost) $g:\mathbb{N}\to ℂ$ platí:

$\underset{\mathbb{N}}{\int }g\mathrm{d}\alpha =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}g(n)$ Je-li integrál definován.

Tento vztah je užitečný například při zavádění L_p prostoru na množině posloupností. Šablona:Autoritní data