Rozšířená reálná čísla

Rozšířená reálná čísla (značení ${ℝ}^{*}$) je název používaný v matematické analýze pro množinu $ℝ\cup \{+\mathrm{\infty },-\mathrm{\infty }\}$, tedy pro reálná čísla rozšířené o dva symboly pro kladné a záporné nekonečno.

Jejich hlavní přínos spočívá v tom, že je možné pomocí nich definovat některé matematické pojmy pro několik situací zároveň, což definici zkrátí a zpřehlední. Například v definici pro limitu funkce $y=\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$ je potřeba ošetřit celkem devět možností: $x_0$ i $y$ může být reálné číslo, $-\mathrm{\infty }$ nebo $+\mathrm{\infty }$; pomocí rozšířených reálných čísel je možno těchto devět možností vyjádřit jednou formulí.

Aritmetické operace a uspořádání

Aritmetické operace

Sčítání a odčítání

Definovat zde budeme pouze sčítání. Všimneme si, že odčítání je v něm již zahrnuto, např. $\mathrm{\infty }+(-4)=\mathrm{\infty }-4$ .

• $\mathrm{\forall }x\in {ℝ}^{*}\setminus \{-\mathrm{\infty }\}:(\mathrm{\infty }+x)=(x+\mathrm{\infty })=\mathrm{\infty }$

• $\mathrm{\forall }x\in {ℝ}^{*}\setminus \{\mathrm{\infty }\}:(-\mathrm{\infty }+x)=(x+(-\mathrm{\infty }))=-\mathrm{\infty }$

• $-(\mathrm{\infty })=-\mathrm{\infty }$
• $-(-\mathrm{\infty })=\mathrm{\infty }$

Definice je poměrně přirozená, jelikož zachovává zvyklosti z reálných čísel a „s nekonečnem operuje nekonečně“. První dva body říkají, že když k nekonečnu cokoli přičteme, dostaneme opět nekonečno (vyjma nekonečna s opačným znaménkem). To dává smysl i nematematicky: když přidáme nebo ubereme z něčeho nekonečného, pořád toho bude nekonečně. Druhé dva body přesně kopírují chování reálných čísel, např. $-(4)=-4$ a také $-(-\pi )=\pi$.

Násobení a dělení

• $\mathrm{\forall }x\in {ℝ}^{*},x>0:(\pm \mathrm{\infty })*x=x*(\pm \mathrm{\infty })=\pm \mathrm{\infty }$
• $\mathrm{\forall }x\in {ℝ}^{*},x<0:(\pm \mathrm{\infty })*x=x*(\pm \mathrm{\infty })=\mp \mathrm{\infty }$
• $\mathrm{\forall }x\in ℝ:\left(\frac{x}{\pm \mathrm{\infty }}\right)=0$

I v tomto případě dává definice dobrý smysl. První dva body opět kopírují vlastnosti násobení reálných čísel, např. $4*(-8)=-32$ nebo $(-7)*(-2)=14$ , neboli násobení s nekonečnem nakládá stejně, jako by to bylo obyčejné reálné číslo. Poslední bod si můžeme představit následovně. Zvolme si x = 1 (pro jednoduchost). Místo nekonečna si postupně dosazujme větší a větší čísla 10, 100, -1000, $10^{10}$ , $-10^{1000}$ atd. Zlomek se tím více přibližuje nule, čím větší číslo do jmenovatele dosadíme (čím větší číslo v absolutní hodnotě). Proto když do jmenovatele dosadíme nekonečně velké číslo, celý zlomek bude roven nule.

Absolutní hodnota

• $|\pm \mathrm{\infty }|=\mathrm{\infty }$

Stejně tak absolutní hodnota se k nekonečnu chová jako k reálnému číslu.

Nedefinované aritmetické operace

Výše nebyly definovány některé operace, jelikož neumíme říci, čemu by se měly rovnat, např.

• $\mathrm{\infty }+(-\mathrm{\infty })$
• $(-\mathrm{\infty })+\mathrm{\infty }$
• $\pm \mathrm{\infty }*0$
• $0*\pm \mathrm{\infty }$
• $\left(\frac{\pm \mathrm{\infty }}{\pm \mathrm{\infty }}\right)$
• $\left(\frac{x}{0}\right),\mathrm{\forall }x\in {ℝ}^{*}$

Zvažme například, proč si neumíme poradit s posledním bodem. Pokusme se definovat $\left(\frac{x}{0}\right)$ obdobně, jak jsme definovali, že $\mathrm{\forall }x\in ℝ:\left(\frac{x}{\pm \mathrm{\infty }}\right)=0$. Dosadíme x = 1 (pro jednoduchost) a místo nuly uvažujme malá čísla – 0,1 ; 0,0001; – 0,00000001; 0,0000000000001. Narážíme zde na problém – zlomek se sice neustále zvětšuje, ale když dosazujeme kladná a záporná čísla, zvětšuje se "jinam", totiž směrem k $\mathrm{\infty }$ a $-\mathrm{\infty }$. A bohužel nelze říci, zdali by výsledek $\left(\frac{x}{0}\right)$ měl být spíše jedno, či druhé.

Uspořádání

Množina reálných čísel je uspořádaná, tj. pro každá dvě čísla umíme říct, které z nich je větší, nebo že se rovnají, např. $4>3$ ; $e<\pi$ ; $\left(\frac{3125}{625}\right)=\left(\frac{65}{13}\right)$ . Nyní chceme definovat, jak jsou vůči těmto prvkům uspořádané nové dva prvky $+\mathrm{\infty },-\mathrm{\infty }$

• $\mathrm{\forall }x\in ℝ:-\mathrm{\infty }<x$
• $\mathrm{\forall }x\in ℝ:\mathrm{\infty }>x$
• $-\mathrm{\infty }<\mathrm{\infty }$

$\epsilon$-okolí

Pojem „$\epsilon -$ okolí bodu $x$“ je označován $U_{\epsilon }(x)$ a má tuto definici:

Pro každé $x\in {ℝ}^{*}$ a $\epsilon \in {ℝ}^{+}$ je

• $U_{\epsilon }(x)=(x-\epsilon ,x+\epsilon )$ pokud $x\in R$
• $U_{\epsilon }(x)=⟨-\mathrm{\infty },-\frac{1}{\epsilon })$ pokud $x=-\mathrm{\infty }$
• $U_{\epsilon }(x)=(\frac{1}{\epsilon },+\mathrm{\infty }⟩$ pokud $x=+\mathrm{\infty }$

Prstencové okolí je pak ve všech případech definováno jako $P_{\epsilon }(x)=U_{\epsilon }(x)-\{x\}$.

Okolí vs. $\epsilon$-okolí

Množina $A\subseteq {ℝ}^{*}$ se nazývá okolím bodu $x\in {ℝ}^{*}$, pokud obsahuje $\epsilon$-okolí bodu x pro nějaké ε>0. A se nazývá prstencovým okolím x, pokud neobsahuje x, ale pro nějaké ε>0 obsahuje jako podmnožinu nějaké prstencové ε-okolí bodu x.

Tyto definice jsou ekvivalentní s topologickými definicemi pojmu okolí a ε-okolí při níže uvedené topologii.

Topologie

Na ${ℝ}^{*}$ lze zavést strukturu topologického prostoru tak, že množina je otevřená, právě když s každým svým prvkem obsahuje nějaké jeho okolí.

Tato topologie je sice metrizovatelná, ale žádná z metrik, která ji indukuje, není na reálných číslech (tj. na $ℝ⊊{ℝ}^{*}$) totožná s obvyklou metrikou. Příkladem metriky, která tuto topologii indukuje, je zobrazení $d(x,y)=|\arctan (x)-\arctan (y)|$, pokud funkci arctan dodefinujeme (pouze pro účely této definice) tak, že $\arctan (+\mathrm{\infty })=\frac{\pi }{2},\arctan (-\mathrm{\infty })=-\frac{\pi }{2}$.

Limita posloupnosti

Rozšířená reálná čísla umožňují jedním vzorcem definovat limitu posloupnosti $a=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n$ pro konečné i nekonečné $a$ .

Budiž $a_n$ posloupnost reálných čísel a $a\in {ℝ}^{*}$. Řekneme, že $a=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n$, pokud

$(\mathrm{\forall }ϵ\in {ℝ}^{*})(\mathrm{\exists }{n}_0\in \mathbb{N})(\mathrm{\forall }n>n_0)a_n\in U_{ϵ}(a)$

Tato definice konvergence posloupnosti je ekvivalentní s konvergencí v topologickém prostoru při výše uvedené topologii.

Limita funkce

Rozšířená reálná čísla umožňují definovat limitu funkce jedním vzorcem pro konečné i nekonečné $x_0$ a $y$:

Je-li $f:D_f\subseteq ℝ\to ℝ$ funkce, $y\in R^{*}$ a $x_0\in R^{*}$ takové, že $x_0$ leží v uzávěru $D_f$ ( definiční obor $D_f$ sice obsahuje jen konečná čísla, ale v jeho uzávěru – viz topologie na $R^{*}$ – může ležet i nekonečno), pak říkáme, že

$y=\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)⟺\mathrm{\forall }ϵ\in {ℝ}^{+}\mathrm{\exists }\delta \in {ℝ}^{+}:f[P_{\delta }(x_0)]\subseteq P_{ϵ}(f(x_0))$

Tato podmínka je ekvivalentní s tvrzením, že pro každé okolí $U_1$ bodu $y$ existuje prstencové okolí $P_2$ bodu $x_0$ takové, že obraz $P_2$ leží v $U_1$ (tj. $f[P_2]\subseteq U_1$).

_{Důkaz ekvivalence: Pokud je y je limitou v prvním smyslu a chceme ověřit druhou formulaci, pak ε zvolíme tak, aby $U_{ϵ}(x)\subseteq U_1$. Definice v prvním smyslu nám zaručuje existenci $\delta$ s příslušnou vlastností; poté $P_2$ zvolme jako $P_{\delta }(x)$. Naopak pokud y je limitou v druhém smyslu a máme dokázat spojitost pro nějaké ε>0, pak zvolíme $U_1=U_{ϵ}(x)$ a $\delta$ zvolíme tak, aby $P_{\delta }(x)\subseteq P_2$.} Šablona:Autoritní data