Grupa rotací v trojrozměrném prostoru

Grupa rotací v trojrozměrném prostoru, v mechanice a geometrii často nazývaná SO(3), je grupa všech rotací kolem počátku souřadnic v trojrozměrném Eukleidovském prostoru ${ℝ}^3$ s operací skládání zobrazení. Podle definice rotace kolem počátku souřadnicového systému je to transformace, která zachovává počátek souřadnicového systému, eukleidovskou metriku (jde tedy o izometrické zobrazení) a orientaci (tj. nepřehazuje levou a pravou ruku). Každá netriviální rotace je určena svojí osou otáčení (přímkou procházející počátkem souřadnicového systému) a úhlem rotace. Složení dvou rotací dává jinou rotaci; ke každé rotaci existuje jednoznačná inverzní rotace; identita je nulovým prvkem (který také vyhovuje definici rotace). Vzhledem k výše uvedeným vlastnostem (spolu s asociativitou skládání rotací) je množina všech rotací grupou, jejíž grupovou operací je skládání zobrazení. Rotace nejsou komutativní (například rotace R o 90° v rovině x-y následovaná rotací S o 90° v rovině y-z není totéž jako S následované R), takže jde o neábelovskou grupu. Grupa rotací má navíc přirozenou strukturu jako varieta, jejíž grupové operace jsou hladce diferencovatelné; je to tedy Lieova grupa. Je to také kompaktní množina a má dimenzi 3.

Rotace jsou lineární zobrazení ${ℝ}^3$ a proto (je-li vybrána nějaká báze ${ℝ}^3$) mohou být reprezentovány maticemi. Pokud použijeme ortonormální bázi prostoru ${ℝ}^3$, bude každá rotace popsána ortogonální maticí 3 × 3 (tj. maticí 3 × 3 s reálnými prvky, kterou když znásobíme s její transponovanou maticí dostaneme jednotkovou matici) s determinantem rovným jedné. Grupu SO(3) můžeme proto ztotožnit s grupou těchto matic s operací násobení matic. Tyto matice jsou známé jako „speciální ortogonální matice“, z čehož pochází označení SO(3).

Grupa SO(3) se používá pro popis možných rotačních symetrií různých objektů, i možných orientací objektu v prostoru. Její reprezentace hrají důležitou roli ve fyzice, kde je jejich důsledkem celočíselný spin elementárních částic.

Délky a úhly

Rotace kromě zachovávání délek zachovávají také úhly mezi vektory. Vyplývá to z faktu, že standardní skalární součin dvou vektorů u a v lze zapsat výhradně pomocí délek:

$𝐮\cdot 𝐯=\frac{1}{2}(\Vert 𝐮+𝐯{\Vert }^2-\Vert 𝐮{\Vert }^2-\Vert 𝐯{\Vert }^2).$

Důsledkem je, že každá transformace zachovávající délku v ${ℝ}^3$ zachovává skalární součin a tedy úhel mezi vektory. Rotace se často definují jako lineární transformace, které zachovávají vnitřní součin na ${ℝ}^3$, což je ekvivalentní s požadavkem, že zachovávají délky. Tento obecnější přístup je použit v článku klasická grupa, kde se probírá Šablona:Math jako speciální případ.

Ortogonální a rotační matice

Každá rotace převádí ortonormální bázi prostoru ${ℝ}^3$ na jinou ortonormální bázi. Stejně jako jakákoli lineární transformace konečněrozměrných vektorových prostorů je možné rotaci reprezentovat maticí. Nechť Šablona:Math je daná rotace. Vzhledem ke standardní bázi Šablona:Math postoru ${ℝ}^3$ jsou sloupce rotace Šablona:Math Šablona:Math. Protože standardní báze je ortonormální a protože Šablona:Math zachovává úhly a délky, tvoří sloupce Šablona:Math jinou ortonormální bázi. Tuto podmínku ortonormality můžeme vyjádřit ve tvaru

$R^{𝖳}R=R{R}^{𝖳}=I,$

kde Šablona:Math označuje transpozici Šablona:Math a Šablona:Mvar je jednotková matice Šablona:Math. Matice s touto vlastností se nazývají ortogonální matice. Grupu všech ortogonálních matic Šablona:Math, která sestává ze všech vlastních a nevlastních rotací, značíme Šablona:Math.

Kromě zachovávání délek, musí vlastní rotace také zachovávat orientaci. Zda matice zachovává nebo obrací orientaci závisí na tom, zda determinant matice je kladný nebo záporný. Pro ortogonální matice Šablona:Math si všimněte, že Šablona:Math naznačuje Šablona:Math, takže Šablona:Math. Podgrupa ortogonálních matic s determinantem Šablona:Math se nazývá speciální ortogonální grupa a označuje se Šablona:Math.

Každá rotace tedy může být reprezentována jednoznačně ortogonální maticí s determinantem rovným jedné. Díky tomu, že skládání rotací odpovídá násobení matic, je navíc grupa rotací je izomorfní se speciální ortogonální grupou Šablona:Math.

Nevlastní rotace odpovídají ortogonálním maticím s determinantem Šablona:Math; grupu netvoří, protože součin dvou nevlastních rotací je vlastní rotace.

Struktura grupy

Grupa rotací je grupou s operací skládání funkcí (nebo ekvivalentně s násobením matic). Je podgrupou obecné lineární grupy sestávající ze všech invertovatelných lineárních transformací reálného trojrozměrného prostoru ${ℝ}^3$.

Grupa rotací je navíc neábelovskou grupu. To znamená, že záleží na pořadí, ve kterém skládáme rotace. Například rotace o 90° okolo kladný osy x následovaná rotací o 90° kolem kladné osy y je jiná rotace než rotace získaná otáčením nejdříve kolem osy y a pak kolem osy x.

Ortogonální grupa sestávající ze všech vlastních a nevlastních rotací je generovaná symetriemi (zrcadlením). Každá vlastní rotace je složena ze dvou symetrií (zrcadlení), což je speciální případ Cartanovy–Dieudonného věty.

Osa otáčení

Šablona:Podrobně Každá netriviální vlastní rotace ve trojrozměrném prostoru zachovává jednoznačný jednorozměrný vektorový podprostor prostoru ${ℝ}^3$, který nazýváme osa otáčení (jak praví Eulerova rotační věta). Každá taková rotace funguje jako obyčejná dvojrozměrná rotace v rovině kolmé na tuto osu. Protože každou dvojrozměrnou rotace můžeme reprezentovat úhlem φ, libovolná trojrozměrná rotace můžeme určit zadáním osy otáčení a úhlu otočení kolem této osy. (Technicky potřebujeme zadat orientaci osy, a zda rotace je ve směru nebo proti směru hodinových ručiček vzhledem k této orientaci).

Rotaci proti směru hodinových ručiček kolem kladné osy z o úhel φ tak popisuje vztah

$R_z(\varphi )=\left(\begin{array}{ccc}\cos \varphi & -\sin \varphi & 0\\ \sin \varphi & \cos \varphi & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right).$

Je-li dán jednotkový vektor n v ${ℝ}^3$ a úhel φ, pak R(φ, n) reprezentuje rotaci proti směru hodinových ručiček kolem osy procházející n (s orientací určenou n). Pak

• R(0, n) je identická transformace pro jakékoli n
• R(φ, n) = R(−φ, −n)
• R(π + φ, n) = R(π − φ, −n).

Při použití této vlastnosti můžeme ukázat, že jakoukoli rotaci můžeme reprezentovat jednoznačným úhlem φ v rozsahu 0 ≤ φ ≤ π a jednotkovým vektorem n takovým, že

• n je libovolný, pokud φ = 0
• n je jednoznačný, pokud 0 < φ < π
• n je jednoznačný až na znaménko, pokud φ = π (tj. rotace R(π, ±n) jsou identické).

V další části používáme tyto reprezentace rotace pro topologické ztotožnění SO(3) s trojrozměrným reálným projektivním prostorem.

Odkazy

Literatura

• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace periodika
• Šablona:Citace periodika [1]
• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie (překlad původního 1932 vydání, Die Gruppentheoretische Methode v Der Quantenmechanik).
• Šablona:Citace elektronické monografie

Související články

• Ortogonální grupa
• Moment hybnosti
• Otočení
• Charty na SO(3)
• Reprezentace SO(3)
• Eulerův úhel
• Rodriguesův rotační vzorec
• Infinitesimální rotace
• Pinová grupa
• Kvaterniony a prostorové rotace
• Tuhé těleso
• Sférické harmonické funkce
• Rovina rotace
• Lieova grupa
• Pauliho matice
• Plate trick
• Trojrozměrný operátor rotace