Jonedovo lemma

V matematice je Jonedovo lemma pravděpodobně nejdůležitějším výsledkem v teorii kategorií. Je to abstraktní tvrzení o funktorech druhu morfismy do daného objektu. Jde o značné zobecnění Cayleyho věty z teorie grup (pokud se grupa vezme jako miniaturní kategorie pouze s jedním objektem a pouze isomorfismy). Umožňuje vnoření libovolné kategorie do kategorie funktorů (kontravariantních funktorů nad množinami) definovaných nad touto kategorií. Také objasňuje, jak se vnořená kategorie reprezentovatelných funktorů a jejich přirozených transformací chová ve vztahu k ostatním objektům v celé kategorii funktorů. Jde o důležitý nástroj, který stojí za mnoha moderními výsledky v algebraické geometrii a teorii reprezentace. Je pojmenováno po Nobuovi Jonedovi (anglicky psáno Yoneda).

Obecniny

Jonedovo lemma naznačuje, že místo zkoumání (lokálně malé) kategorie $𝒞$ by se měla studovat kategorie všech funktorů z $𝒞$ do $𝐒𝐞𝐭$ (kategorie množin s funkcemi jako svými morfismy). Kategorie Set je považována za veskrze dobře pochopenou kategorii a funktor z $𝒞$ do $𝐒𝐞𝐭$ je možné chápat jako „reprezentaci“ $𝒞$ pomocí známých struktur. Původní kategorie $𝒞$ je v této kategorii obsažena, ale spolu s ní se zde objevují nové objekty, které v $𝒞$ chyběly či byly „skryté“. Práce s těmito objekty často sjednocuje a zjednodušuje postup.

Tento přístup je podobný (a ve skutečnosti je zobecněním) běžnému způsobu studia okruhů zkoumáním jejich modulů. Okruh nahradí kategorie $𝒞$ a moduly nad tímto okruhem nahradí kategorie funktorů definovaných na $𝒞$.

Formální znění

Jonedovo lemma se týká funktorů z dané kategorie $𝒞$ do kategorie množin, $𝐒𝐞𝐭$. Je-li $𝒞$ lokálně malá kategorie (tj. hom-sady jsou skutečně množiny, nikoliv vlastní třídy), pak každý objekt $A$ z $𝒞$ dává vzniknout přirozenému funktoru do $𝐒𝐞𝐭$, zvanému hom-funktor. Tento funktor se značí:

$h^A=\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(A,-)$ .

Tento (kovariantní) hom-funktor $h^A$ zobrazí $X$ do množiny morfismů $\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(A,X)$ a morfismus $f:X\to Y$ na morfismus $f\circ -$ (složení s $f$ vlevo), který zobrazuje morfismus $g$ v $\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(A,X)$ na morfismus $f\circ g$ v $\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(A,Y)$ . Konkrétně,

$h^A(f)=\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(A,f)\text{, neboli}$

$h^A(f)(g)=f\circ g$ .

Nechť je $F$ libovolný funktor z $𝒞$ do $𝐒𝐞𝐭$ . Pak Jonedovo lemma říká, že: Šablona:Citát v rámečku Zápis ${𝐒𝐞𝐭}^{𝒞}$ zde označuje kategorii funktorů z $𝒞$ do $𝐒𝐞𝐭$ .

Máme-li přirozenou transformaci $\mathrm{\Phi }$ z $h^A$ do $F$, odpovídající prvek $F(A)$ je $u={\mathrm{\Phi }}_A({\mathrm{i}\mathrm{d}}_A)$ ;Šablona:Poznámka dále máme-li prvek $u$ z $F(A)$, odpovídající přirozenou transformaci dostaneme z $\mathrm{\Phi }(f)=F(f)(u)$ .

Kontravariantní verze

Existuje kontravariantní verze Jonedova lemmatu, která se týká kontravariantních funktorů z $𝒞$ do $𝐒𝐞𝐭$ . Tato verze zahrnuje kontravariantní hom-funktor

$h_A=\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(-,A),$

který zobrazuje $X$ na hom-sadu $\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(X,A)$ . Pro libovolný kontravariantní funktor $G$ z $𝒞$ do $𝐒𝐞𝐭$ Jonedovo lemma říká, že

$\mathrm{N}\mathrm{a}\mathrm{t}(h_A,G)\cong G(A).$

Ustálené názvosloví

Použití $h^A$ pro kovariantní hom-funktor a $h_A$ pro kontravariantní hom-funktor není zcela standardní. Mnoho textů a článků používá přesně opačné značení nebo úplně jiné symboly. Poslední moderní texty algebraické geometrie počínaje zakladatelskou EGA Alexandra Grothendiecka ovšem používají stejnou konvenci jako tento článek. Šablona:Poznámka

Mnemotechnické „padání do něčeho“ může být užitečné pro zapamatování, že $h_A$ je kontravariantní hom-funktor. Když písmeno $A$ klesá (je použito jako dolní index), $h_A$ přiřadí k objektu $X$ morfismy z $X$ do $A$ .

Důkaz

Důkaz Jonedova lemmatu je vystižen následujícím komutativním diagramem:

Důkaz Jonedova lemmatu

Tento diagram ukazuje, že přirozená transformace $\mathrm{\Phi }$ je zcela určena ${\mathrm{\Phi }}_A({\mathrm{i}\mathrm{d}}_A)=u$, protože pro každý morfismus $f:A\to X$ máme

${\mathrm{\Phi }}_X(f)=(Ff)u$ .

Navíc jakýkoli prvek $u\in F(A)$ tímto způsobem definuje přirozenou transformaci. Důkaz v kontravariantním případě je zcela analogický.

Jonedovo vnoření

Důležitým zvláštním případem Jonedova lemmatu je, když je funktor $F$ z $𝒞$ do $𝐒𝐞𝐭$ dalším hom-funktorem $h^B$ . V tomto případě kovariantní verze Jonedova lemmatu říká, že

$\mathrm{N}\mathrm{a}\mathrm{t}(h^A,h^B)\cong \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(B,A).$

Tedy že přirozené transformace mezi hom-funktory jsou ve vzájemně jednoznačné korespondenci s morfismy (v opačném směru) mezi přidruženými objekty. Máme-li morfismus $f:B\to A$, přidružená přirozená transformace se značí $\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(f,-)$ .

Pokud zobrazíme každý objekt $A$ v $𝒞$ na přidružený hom-funktor $h^A=\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(A,-)$ a každý morfismus $f:B\to A$ na odpovídající přirozenou transformaci $\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(f,-)$, určíme tím kontravariantní funktor $h^{-}$ z $𝒞$ do ${𝐒𝐞𝐭}^{𝒞}$, kategorie funktorů všech (kovariantních) funktorů z $𝒞$ do $𝐒𝐞𝐭$ . $h^{-}$ se dá interpretovat jako kovariantní funktor :

$h^{-}:{𝒞}^{\text{op}}\to {𝐒𝐞𝐭}^{𝒞}.$

Význam Jonedova lemmatu za těchto okolností je, že funktor $h^{-}$ je plně věrný, a proto určuje vnoření ${𝒞}^{\mathrm{o}\mathrm{p}}$ do kategorie funktorů do $𝐒𝐞𝐭$ . Sada všech funktorů $\{h^A|A\in C\}$ je podkategorií ${𝐒𝐞𝐭}^{𝒞}$ . Z Jonedova vnoření tedy vyplývá, že kategorie ${𝒞}^{\mathrm{o}\mathrm{p}}$ je izomorfní ke kategorii $\{h^A|A\in C\}$ .

Kontravariantní verze Jonedova lemmatu říká, že

$\mathrm{N}\mathrm{a}\mathrm{t}(h_A,h_B)\cong \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(A,B).$

Proto $h_{-}$ dává vzniknout kovariantnímu funktoru z $𝒞$ do kategorie kontravariantních funktorů do $𝐒𝐞𝐭$ :

$h_{-}:𝒞\to {𝐒𝐞𝐭}^{{𝒞}^{\mathrm{o}\mathrm{p}}}.$

Jonedovo lemma pak říká, že každá lokálně malá kategorie $𝒞$ může být vnořena do kategorie kontravariantních funktorů z $𝒞$ do $𝐒𝐞𝐭$ skrz $h_{-}$ . Tomuto se říká Jonedovo vnoření.

Jonedovo vnoření je někdy označováno znakem よ, což je kana v rámci písma Hiragana, Jo.

Reprezentovatelný funktor

Jonedovo vnoření v zásadě uvádí, že pro každou (lokálně malou) kategorii mohou být objekty v této kategorii reprezentovány pomocí předsvazků, a to plně a věrně. Jinými slovy,

$\mathrm{N}\mathrm{a}\mathrm{t}(h_A,P)\cong P(A).$

pro nějaký předsvazek P. Mnoho běžných kategorií jsou ve skutečnosti předsvazky, ba po důkladnějším prozkoumání dokonce svazky, a jelikož takové případy mají obvykle topologickou povahu, lze je obecně považovat za toposy. Jonedovo lemma pak představuje nástroj, pomocí něhož lze topologickou strukturu kategorií zkoumat.

Z hlediska (ko)koncového kalkulu

Pro dvě kategorie $𝐂$ a $𝐃$ se dvěma funktory $F,G:𝐂\to 𝐃$ lze přirozené transformace mezi nimi zapsat jako následující konec:

$\mathrm{N}\mathrm{a}\mathrm{t}(F,G)=\underset{c\in 𝐂}{\int }\mathrm{D}(Fc,Gc)$

Pro všechny funktory $K:{𝐂}^{op}\to 𝐒𝐞𝐭𝐬$ a $H:𝐂\to 𝐒𝐞𝐭𝐬$ jsou následující vzorce jiná znění Jonedova lemmatu.

$K\cong {\int }^{c\in 𝐂}Kc\times 𝐂(-,c),K\cong \underset{c\in 𝐂}{\int }K{c}^{𝐂(c,-)},$

$H\cong {\int }^{c\in 𝐂}Hc\times 𝐂(c,-),H\cong \underset{c\in 𝐂}{\int }H{c}^{𝐂(-,c)}.$

Preaditivní kategorie, okruhy a moduly

Preaditivní kategorie je kategorie, v které sady morfismů tvoří abelovské grupy a skládání morfismů je bilineární; příkladem jsou kategorie abelovských grup nebo modulů. V preaditivní kategorii existuje jak „násobení“, tak „sčítání“ morfismů, a proto jsou preaditivní kategorie vnímány jako zobecnění okruhů. Okruhy jsou preaditivní kategorie s jedním objektem.

Jonedovo lemma je pravdivé i pro preaditivní kategorie, pokud si jako rozšíření zvolíme kategorii aditivních kontravariantních funktorů z původní kategorie do kategorie abelovských grup. Jedná se o funktory, které jsou kompatibilní se sčítáním morfismů, a lze je brát jako základ kategorie modulů nad původní kategorií. Jonedovo lemma pak poskytuje přirozený recept, jak zvětšit preaditivní kategorii tak, aby tato zvětšená verze zůstala preaditivní – ve skutečnosti je zvětšená verze abelovskou kategorií, což je mnohem silnější vlastnost. V případě okruhu $R$ je rozšířená kategorie kategorií všech pravých $R$-modulů a znění Jonedova lemmatu se redukuje na známý isomorfismus:

$M\cong {\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_R(R,M)$    pro všechny pravé $R$-moduly $M$.

Vztah ke Cayleyově větě

Jak bylo uvedeno výše, Jonedovo lemma může být považováno za značné zobecnění Cayleyovy věty z teorie grup. Aby to bylo zřejmé, nechť je $𝒞$ kategorie s jediným objektem $*$ s tím, že každý morfismus je izomorfismus (tj. grupoid s jediným objektem). Pak $G={\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{𝒞}(*,*)$ tvoří grupu pod operací skládání a jakoukoli grupu lze tímto způsobem realizovat jako kategorii.

V tomto kontextu kovariantní funktor $𝒞\to 𝐒𝐞𝐭$ sestává z množiny $X$ a grupového homomorfismu $G\to {\mathrm{S}}_{|X|}$, kde ${\mathrm{S}}_{|X|}$ je grupa permutací $X$; čili $X$ je G-sada . Přirozená transformace mezi takovými funktory je to samé jako ekvivariantní zobrazení mezi $G$-sadami: množinová funkce $\alpha :X\to Y$ s tou vlastností, že $\alpha (g\cdot x)=g\cdot \alpha (x)$ pro všechna $g$ v $G$ a $x$ v $X$. (Na levé straně rovnice $\cdot$ označuje akci $G$ na $X$ a na pravé straně akci na $Y$.)

Nyní, kovariantní hom-funktor ${\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{𝒞}(*,-)$ odpovídá akci $G$ na sobě samé podle násobení vlevo (kontravariantní verze odpovídá násobení vpravo). Jonedovo lemma pro $F={\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{𝒞}(*,-)$ říká, že

$\mathrm{N}\mathrm{a}\mathrm{t}({\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{𝒞}(*,-),{\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{𝒞}(*,-))\cong {\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{𝒞}(*,*)$ ,

to jest, ekvivariantní zobrazení z této $G$-sady na sebe jsou v bijekci s $G$. Jde si však povšimnout, že a) tato zobrazení tvoří grupu podle skládání, což je podgrupa ${\mathrm{S}}_{|G|}$ a b) funkce, která tuto bijekci určuje, je grupový homomorfismus. (V opačném směru každé $g$ v $G$ odpovídá ekvivariantnímu zobrazení násobení vpravo podle $g$.) Takže $G$ je izomorfní k nějaké podgrupě ${\mathrm{S}}_{|G|}$, což je přesné znění Cayleyovy věty.

Historie

Jošiki Kinošita v roce 1996 řekl, že termín „Jonedovo lemma“ začal používat Saunders Mac Lane po rozhovoru s Jonedou.

Odkazy

Reference

• Yoneda lemma na nLab

Související články

• Reprezentační věta

Externí odkazy

• Důkaz v systému Mizar: http://www.mizar.org/JFM/pdf/yoneda_1.pdfŠablona:Nedostupný zdroj