Hamiltonova funkce

Hamiltonova funkce (též označovaná jako hamiltonián - pod tímto pojmem však bývá obvykle myšlen Hamiltonův operátor) označuje ve fyzice funkci vyjadřující energii fyzikálního systému v zobecněných souřadnicích a hybnostech.

Hamiltonova funkce hraje důležitou úlohu v Hamiltonovské formulaci mechaniky.

Funkce je pojmenována po Williamu Rowanu Hamiltonovi.

Definice

Hamiltonova funkce mechanického systému s $m$ stupni volnosti je definována vztahem:

$H(q_1,q_2,....q_m,p_1,p_2,....p_m,t)=\sum _{i=1}^m{\dot{q}}_i{p}_i-L(q_1,q_2,....q_m,{\dot{q}}_1,{\dot{q}}_2,...,{\dot{q}}_m,t)$,

kde $L$ je Lagrangeova funkce systému a na pravé straně jsou zobecněné rychlosti $\dot{𝐪}$ vyjádřené jako funkce zobecněných souřadnic $q_1,q_2,....q_m$, zobecněných hybností $p_1,p_2,....p_m$ a případně času $t$, tzn.

${\dot{q}}_j={\dot{q}}_j(q_1,q_2,....q_m,p_1,p_2,....p_m,t)$.

Vlastnosti

Hamiltonova funkce se nemění při pohybu, u kterého Lagrangeova funkce není explicitně závislá na čase. Dosadí-li se totiž Lagrangeovy pohybové rovnice do totální derivace Lagrangeovy funkce:

$\frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}t}=\sum _i\frac{\partial L}{\partial q_i}{\dot{q}}_i+\sum _i\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}{\ddot{q}}_i+\frac{\partial L}{\partial t}=\sum _i\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}{\dot{q}}_i\right)+\frac{\partial L}{\partial t}$,

poslední člen je vzhledem k explicitní nezávislosti lagrangiánu nulový, a dosadí-li se Lagrangeovy pohybové rovnice, vychází:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}[\sum _i\left(\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}{\dot{q}}_i\right)-L]=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\sum _i{p}_i{\dot{q}}_i-L)=\frac{\mathrm{d}H}{\mathrm{d}t}=0$

Lagrangeovu funkci $L(q_1,q_2,....q_m,{\dot{q}}_1,{\dot{q}}_2,...,{\dot{q}}_m,t)$ lze získat z Hamiltonovy funkce $H(q_1,q_2,....q_m,p_1,p_2,....p_m,t)$ dosazením za $p_j$ zobecněných souřadnic, rychlostí a času podle Hamiltonových rovnic.

Přechod od Lagrangeovy k Hamiltonově funkci, tedy přechod od proměnných $q_j,{\dot{q}}_j$ k proměnným $q_j,p_j$, se nazývá Legendreova duální transformace.

Hustota hamiltoniánu

Zejména v kvantové teorii pole se používá hustota hamiltoniánu, vyjadřující jeho prostorové rozložení. Vzájemná souvislost je dána vztahem

$H=\int \mathscr{H}(q_j(𝐱),p_j(𝐱),t){\mathrm{d}}^3𝐱$

Jednoduché příklady

• Hamiltonova funkce pro pohyb volné částice (hmotného bodu):

$H=\frac{{\overrightarrow{p}}^2}{2m}$

• Hamiltonova funkce částice s nábojem $q$ v elektromagnetickém poli s elektrickým potenciálem $\phi$ a vektorovým potenciálem $\overrightarrow{A}$:

$H=\frac{(\overrightarrow{p}-q\overrightarrow{A}{)}^2}{2m}+q\phi$

• Hamiltonova funkce relativistické částice (pro nenabitou částici odpadá člen s $q$):

$H=\sqrt{m^2{c}^4+(\overrightarrow{p}-q\overrightarrow{A}{)}^2{c}^2}+q\phi$

Literatura

• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie

Související články

• Hamiltonovská formulace mechaniky
• Hamiltonův operátor
• Lagrangeova funkce