Elektrický potenciál

Elektrický potenciál je skalární fyzikální veličina, která popisuje potenciální energii jednotkového elektrického náboje v elektrostatickém poli. Jedná se o potenciál elektrického pole, tj. množství práce potřebné pro přenesení jednotkového elektrického náboje ze vztažného místa o nulovém potenciálu (tzv. vztažný bod) do daného místa. Za místo s nulovým potenciálem se obvykle bere buď nekonečně vzdálený bod nebo povrch Země. Rozdíl potenciálů dvou bodů je roven napětí mezi danými body.

Značka: $\phi$

Jednotka SI: volt, značka $V$

Definice

Potenciál bodového náboje $Q$ umístěného v počátku soustavy souřadnic lze vyjádřit vztahem:

$\phi (𝒓)=\frac{1}{4\pi \epsilon }\frac{Q}{|𝒓|}+{\phi }_0$,

kde $\epsilon$ je permitivita prostředí, $𝒓$ je polohový vektor potenciálu $\phi$ a ${\phi }_0$ je integrační konstanta, která určuje hodnotu potenciálu v nekonečnu. Obvykle se klade ${\phi }_0=0$.

Potenciál objemově rozloženého náboje lze vyjádřit vztahem:

$\phi (𝒓)=\frac{1}{4\pi \epsilon }\underset{V}{\int }\frac{\rho ({𝒓}^{\prime })}{|𝒓-{𝒓}^{\prime }|}\mathrm{d}V$,

kde $V$ je objem, přes který se integruje a $\rho$ je objemová hustota náboje.

Tento potenciál je definován ve všech bodech prostoru daného objemu, tedy také v bodech, ve kterých je hustota náboje nenulová. Tím se potenciál spojitě rozloženého náboje odlišuje od potenciálu soustavy diskrétních bodových nábojů. Tento potenciál je navíc všude spojitý a má ve všech bodech prostoru parciální derivaci alespoň prvního řádu, což v souvislosti s intenzitou elektrického pole znamená, že také intenzita pole daná tímto vztahem je definována ve všech bodech prostoru včetně bodů, v nichž je hustota náboje nenulová. Totéž platí pro plošně resp. lineárně rozložené náboje:

Potenciál plošně rozloženého náboje lze vyjádřit vztahem:

$\phi (𝒓)=\frac{1}{4\pi \epsilon }\underset{S}{\int }\frac{\sigma ({𝒓}^{\prime })}{|𝒓-{𝒓}^{\prime }|}\mathrm{d}S$,

kde $S$ je plocha, přes kterou se integruje a $\sigma$ je plošná hustota náboje.

Potenciál lineárně rozloženého náboje lze vyjádřit vztahem:

$\phi (𝒓)=\frac{1}{4\pi \epsilon }\underset{l}{\int }\frac{\tau ({𝒓}^{\prime })}{|𝒓-{𝒓}^{\prime }|}\mathrm{d}l$,

kde $l$ je délka, přes kterou se integruje a $\tau$ je lineární hustota náboje.

Jelikož elektrický potenciál vyjadřuje potenciální energii na jednotku náboje, je možné jej vyjádřit jako

$\phi =\frac{W}{Q}$,

kde $W$ je potenciální energie nabitého tělesa a $Q$ je jeho náboj.

Vlastnosti

Na základě principu superpozice lze odvodit výraz pro potenciál soustavy $n$ bodových nábojů $Q_1$ až $Q_n$, jejichž polohové vektory jsou ${𝒓}_1$ až ${𝒓}_n$:

$\phi (𝒓)=\frac{1}{4\pi \epsilon }\sum _{i=1}^n\frac{Q_i}{|𝒓-{𝒓}_i|}+{\phi }_0$.

Potenciál jednoho z bodových nábojů $Q_i$ ze soustavy nábojů $Q_1$ až $Q_n$ vzhledem k ostatním nábojům soustavy lze určit podle principu superpozice jako

${\phi }_i=\frac{1}{4\pi \epsilon }\sum _{j\ne i}^n\frac{Q_j}{|{𝒓}_i-{𝒓}_j|}$.

Dosadíme-li do Gaussova zákona elektrostatiky pro spojitě rozložený náboj místo intenzity elektrického pole potenciál, dostaneme:

$\mathrm{div}𝑬=-\mathrm{div}\mathrm{grad}\phi =\frac{\rho }{{\epsilon }_0}$,

tj. pro Laplaceův operátor $\mathrm{\Delta }=\mathrm{div}\mathrm{grad}$ dostaneme Poissonovu rovnici $\mathrm{\Delta }\phi =-\frac{\rho }{{\epsilon }_0}$, která je platná ve všech bodech prostoru, v nichž platí Gaussův zákon elektrostatiky. Pokud je v některých bodech prostoru objemová hustota nulová, tj. $\rho =0$, zjednoduší se rovnice na Laplaceova rovnici $\mathrm{\Delta }\phi =0$.

Záporný gradient potenciálu je roven intenzitě elektrického pole, tj.:

$𝑬(𝒓)=-\mathrm{grad}\phi (𝒓)$.

Potenciál elektrostatického pole pak lze chápat jako potenciální energii jednotkového náboje. Položíme-li potenciál v nekonečnu roven nule, tj. ${\phi }_0=0$, pak lze psát:

$\phi (𝒓)=-\underset{\mathrm{\infty }}{\overset{𝒓}{\int }}𝑬\cdot \mathrm{d}𝒍$.

Plocha, na níž si potenciál zachovává svoji hodnotu, tj. $\phi =\text{konst}$, se nazývá ekvipotenciální plocha. Siločáry jsou vždy kolmé k ekvipotenciální ploše. To lze ukázat diferenciací vztahu $\phi =\text{konst}$, tj.:

$\mathrm{d}\phi =\frac{\partial \phi }{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial \phi }{\partial y}\mathrm{d}y+\frac{\partial \phi }{\partial z}\mathrm{d}z=-(E_x\mathrm{d}x+E_y\mathrm{d}y+E_z\mathrm{d}z)=-𝑬\cdot \mathrm{d}𝒓=0$,

kde $\mathrm{d}𝒓$ leží v rovině tečné k ekvipotenciální ploše. Vektory $𝑬$ a $\mathrm{d}𝒓$ jsou tedy vzájemně kolmé, tzn. $𝑬$ je kolmé k ekvipotenciální ploše.

Literatura

• Šablona:Citace monografie

Související články

• Elektrické napětí
• Elektrický náboj
• Elektrické pole

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat
• Maxwellův proud na WIKI Matematicko-fyzikální fakulty Univerzity Karlovy