Lagrangeova funkce

Lagrangeova funkce nebo také lagrangián/lagranžián, popř. také kinetický potenciál systému, je funkce, která v sobě zahrnuje popis dynamiky systému. Tato funkce je pojmenována po Lagrangeovi, který ji zavedl v rámci své formulace klasické mechaniky.

Definice

Pro konzervativní systém má lagrangián tvar

$L=L(q_1,q_2,....q_m,{\dot{q}}_1,{\dot{q}}_2,...,{\dot{q}}_m,t)=T(q_1,q_2,....q_m,{\dot{q}}_1,{\dot{q}}_2,...,{\dot{q}}_m,t)-V(q_1,q_2,...,q_m,t)$

kde $q_1,q_2,...,q_m$ jsou zobecněné souřadnice, ${\dot{q}}_i$ jsou zobecněné rychlosti, $T$ je celková kinetická energie, $V$ je potenciální energie a $m$ je počet stupňů volnosti.

Obecnější tvar Lagrangeovy funkce lze získat pomocí zobecněné potenciálové funkce $U(q_1,q_2,....q_m,{\dot{q}}_1,{\dot{q}}_2,...,{\dot{q}}_m,t)$, tzn. funkce, pomocí které lze zobecněné síly zapsat ve tvaru $Q_j=-\frac{\partial U}{\partial q_j}+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial U}{\partial {\dot{q}}_j}$. Pak:

$L=T(q_1,q_2,....q_m,{\dot{q}}_1,{\dot{q}}_2,...,{\dot{q}}_m,t)-U(q_1,q_2,....q_m,{\dot{q}}_1,{\dot{q}}_2,...,{\dot{q}}_m,t)$

Takový lagrangián umožňuje popisovat např. viskózní látky nebo zahrnout působení Lorentzovy síly.

Vlastnosti

Z Hamiltonova principu lze odvodit, že pokud je systém popsán Lagrangeovou funkcí $L$ pak může být systém popsán také Lagrangeovou funkcí

$L_{\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{r}}=L+\dot{F}(q_1,q_2,....q_m,t)$,

kde $F$ je libovolná funkce polohy a času.

Hustota lagrangiánu

Zejména v kvantové teorii pole se používá hustota lagrangiánu, vyjadřující jeho prostorové rozložení. Vzájemná souvislost je dána vztahem

$L=\int ℒ(q_j(𝐱),{\dot{q}}_j(𝐱),t){\mathrm{d}}^3𝐱$

Jednoduché příklady

• Lagrangián částice s rychlostí $v$ v konzervativním poli s potenciální energií $E_{\mathrm{p}}$

$L=\frac{1}{2}m{v}^2-E_{\mathrm{p}}$

• Lagrangián částice s nábojem $q$ v elektromagnetickém poli s elektrickým potenciálem $\phi$ a magnetickým vektorovým potenciálem $𝐀$

$L=\frac{1}{2}m{v}^2-q(\phi -𝐯\cdot 𝐀)$

• Lagrangián relativistické částice (pro nenabitou částici odpadá člen s $q$):

$L=-m_0{c}^2\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}-q(\phi -𝐯\cdot 𝐀)$

Literatura

• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie

Související články

• Lagrangeovská formulace mechaniky
• Eulerova–Lagrangeova rovnice
• Akce (fyzika)