Fundamentální systém

Fundamentální systém soustavy homogenních lineárních obyčejných diferenciálních rovnic se v matematické analýze nazývá každá báze vektorového prostoru složená z řešení této soustavy.

Fundamentálním systémem soustavy homogenních diferenciálních rovnic nazveme každou množinu vektorových funkcí $\{{𝐲}_1,\dots ,{𝐲}_n\}$ takovou, že

$ℒ:=\{𝐲\in C^1(⟨a,b⟩;{ℝ}^n)|𝐲=\sum _{k=1}^n{a}_k{𝐲}_k,a_1,\dots ,a_n\in ℝ\}$

je množina všech řešení této soustavy.

Znalost fundamentálního systému je předpokladem pro použití metody variace konstant k získání partikuláního řešení nehomogenní lineární diferenciální rovnice prvního řádu i nehomogenních lineárních diferenciálních rovnic vyšších řádů.

Fundamentální systém, (Hlavní) fundamentální matice a Wronskián

Homogenní lineární soustava diferenciálních rovnic prvního řádu

Uvažujme lineární homogenní soustavu diferenciálních rovnic prvního řádu

${𝐲}^{\prime }(x)=A(x)𝐲(x),$

na nějakém intervalu $I\subseteq ℝ$, kde $A:⟨a,b⟩\to {ℝ}^{n\times n}$ je maticové zobrazení. Hledáme řešení této soustavy diferenciálních rovnic v prostoru $C^1(⟨a,b⟩;{ℝ}^n)$ spojitě diferencovatelných funkcí $𝐲:⟨a,b⟩\to {ℝ}^n$.

Jestliže máme dvě různá řešení této diferenciální rovnice, pak jejich součet a násobek s reálnou konstantou jsou také řešením této rovnice. Prostor řešení je tedy vlastním podprostorem prostoru všech spojitě diferencovatelných funkcí.

Jestliže matice koeficientů $A$ je spojitá maticová funkce, pak lze na ni použít Picardovu-Lindelöfovu větu o existenci a jednoznačnosti. Pak každé řešení diferenciální rovnice je jednoznačně určeno hodnotou $𝐲(a)$ v počátečních podmínkách a naopak každá počáteční hodnota $𝐲(a)=:{𝐲}_0\in {ℝ}^n$ této soustavy diferenciálních rovnic určuje jednoznačně řešení. Z toho plyne, že prostor řešení je n-dimenzionální.

Definice

Každá báze tohoto n-dimenzionálního prostoru řešení se nazývá fundamentální systém lineární soustavy diferenciálních rovnic. Ve většině případů si volíme bázi soustavy funkcí, které jsou řešeními $\{{𝐲}_1(x),\dots ,{𝐲}_n(x)\}$, pro které počáteční hodnota ${𝐲}_i(a)={𝐞}_i$ je $i$-tý kanonický jednotkový vektor.

Pokud $\{{𝐲}_1,\dots ,{𝐲}_n\}$ je fundamentální systém, pak matici $\mathrm{\Phi }(x):=({𝐲}_1(x)|\cdots |{𝐲}_n(x))\in {ℝ}^{n\times n}$ nazveme fundamentální maticí a její determinant $\det \mathrm{\Phi }(x)$ budeme nazývat Wronskián. Jestliže $\mathrm{\Phi }(x_0)$ pro nějaké $x_0$ je jednotková matice, pak se $\mathrm{\Phi }$ nazývá hlavní fundamentální matice v bodě $x_0$.

Fundamentální matice $\mathrm{\Phi }$ je také řešení homogenní obyčejné (maticové) diferenciální rovnice, konkrétně

${\mathrm{\Phi }}^{\prime }(x)=A(x)\mathrm{\Phi }(x).$

Prostor řešení původní homogenní soustavy v ${ℝ}^n$ pak je $\{𝐲\in C^1(⟨a,b⟩;{ℝ}^n)|𝐲(x)=\mathrm{\Phi }(x)\cdot 𝐜,𝐜\in {ℝ}^n\}$. $\mathrm{\Phi }$ je dokonce i hlavní fundamentální matice pro $x_0$, takže $𝐲(x):=\mathrm{\Phi }(x){𝐲}_0$ řeší počáteční úlohu pro $𝐲(x_0)={𝐲}_0$.

Fundamentální matice $\mathrm{\Phi }(x)\in {ℝ}^{n\times n}$ je pro každé $x\in ⟨a,b⟩$ invertibilní. Pro Wronskián platí Liouvilleův vzorec.

Homogenní lineární diferenciální rovnice vyššího řádu

Stejně jako v případě rovnic prvního řádu může být prostor řešení lineární soustavy vyššího řádu také vektorový prostor, a proto každou jeho bázi lze považovat za fundamentální systém.

Pro definici fundamentální matice skalární lineární diferenciální rovnice řádu n

$y^{(n)}(x)=\sum _{k=0}^{n-1}{a}_k(x)y^{(k)}(x)$

nejdříve uvažujeme diferenciální rovnici odpovídající soustavě n rovnic prvního řádu

${𝐘}^{\prime }(x)=A(x)𝐘(x)$, kde $A(x):=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& & 0\\ & \ddots & \ddots & \\ & & \ddots & 1\\ a_0(x)& a_1(x)& \cdots & a_{n-1}(x)\end{array}\right).$

[Vztah je následující: $y(x)$ je řešením skalární rovnice řádu n právě tehdy když $𝐘(x):=\left(\begin{array}{c}y(x)\\ y^{\prime }(x)\\ ⋮\\ y^{(n-1)}(x)\end{array}\right)$ je řešením výše uvedené soustavy prvního řádu.]

Fundamentální maticí rovnice

$y^{(n)}(x)=\sum _{k=0}^{n-1}{a}_k(x)y^{(k)}(x)$

nazýváme každou fundamentální matici $\mathrm{\Phi }$ soustavy prvního řádu

${𝐘}^{\prime }(x)=A(x)𝐘(x).$

Přirozeně $\mathrm{\Phi }$ nazýváme hlavní fundamentální maticí v $x_0$, jestliže $\mathrm{\Phi }(x_0)$ je jednotková matice. Determinant $\det \mathrm{\Phi }$ se nazývá Wronskián.

Pro redukci rovnice na soustavu prvního řádu: jestliže $\{y_1,\dots ,y_n\}$ je fundamentální systém, pak

$\mathrm{\Phi }(x):=\left(\begin{array}{ccc}{y}_1(x)& \cdots & y_n(x)\\ {y_1}^{\prime }(x)& \cdots & {y_n}^{\prime }(x)\\ ⋮& \cdots & ⋮\\ y_1^{(n-1)}(x)& \cdots & y_n^{(n-1)}(x)\end{array}\right)$

je fundamentální matice.

Konstrukce fundamentálního systému

Zkonstruovat fundamentální systém je v obecném případě obtížné. Přesné postupy jsou známy pouze pro diferenciální rovnice se speciální strukturou, jako jsou skalární diferenciální rovnice prvního řádu, soustavy diferenciálních rovnic prvního řádu s konstantními koeficienty, diferenciální rovnice vyšších řádů s konstantními koeficienty a Eulerova rovnice. Pokud je známé řešení homogenní diferenciální rovnice vyššího řádu, lze snížit řád diferenciální rovnice použitím postupu pro redukci řádu objeveného Jean le Rond d'Alembertem.

Lineární diferenciální rovnice prvního řádu

Nechť $A$ je primitivní funkce k funkci $a$, potom

$\{y(x)=e^{A(x)}\}$

je fundamentální systém rovnice $y^{\prime }(x)=a(x)y(x)$.

Lineární soustava diferenciálních rovnic prvního řádu s konstantními koeficienty

Pro soustavu lineárních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty

${𝐲}^{\prime }(x)=A\cdot 𝐲(x),A\in {ℝ}^{n\times n}$

nejdříve nalezneme Jordanovu normální formu $J$ matice $A$ a příslušnou Jordanovu bázi $B=\{{𝐛}_1,\dots ,{𝐛}_n\}$. Pokud $\lambda$ je komplexní vlastní hodnota s vlastními vektory báze ${𝐜}_1,\dots ,{𝐜}_k$, můžeme v Jordanově bázi vybrat bázové vektory tak, že $\overline{{𝐜}_1},\dots ,\overline{{𝐜}_k}$ se stanou bázovými vektory $\bar{\lambda }$.

Nyní provedeme pro každý řetězec hlavních vektorů zvlášť: Pokud ${𝐯}_1,\dots ,{𝐯}_k\in B$ je (úplný) řetězec hlavních vektorů pro vlastní číslo $\lambda$, tj.

$(A-\lambda I){𝐯}_{i+1}={𝐯}_i$,

pak dodávají do fundamentálního systému $k$ řešení (hlavního vektoru)

$y_1(x)=e^{\lambda x}{𝐯}_1,y_2(x)=e^{\lambda x}(\frac{x^1}{1!}{𝐯}_1+{𝐯}_2),y_3(x)=e^{\lambda x}(\frac{x^2}{2!}{𝐯}_1+\frac{x^1}{1!}{𝐯}_2+{𝐯}_3),\dots ,$

obecně

$y_i(x)=e^{\lambda x}\sum _{j=1}^i\frac{x^{i-j}}{(i-j)!}{𝐯}_j,i=1,\dots ,k$

Probráním všech řetězců hlavních vektorů sestrojíme (obecně komplexní) fundamentální systém.

Lineární diferenciální rovnice vyššího řádu s konstantními koeficienty

Fundamentální systém pro skalární lineární diferenciální rovnici n-tého řádu s konstantními koeficienty

$y^{(n)}(x)-\sum _{k=0}^{n-1}{a}_k{y}^{(k)}(x)=0,a_1,\dots ,a_n\in ℝ$

získáme řešením charakteristické rovnice $P(\lambda )=0$ s charakteristickým polynomem

$P(\lambda ):={\lambda }^n-\sum _{k=0}^{n-1}{a}_k{\lambda }^k$.

Jestliže ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_k$ jsou (po dvou různé) kořeny polynomu $P$ s násobnostmi ${\mu }_1,\dots ,{\mu }_k$, pak (komplexní) fundamentální systém ${\mu }_i$ lineárně nezávislých řešení pro kořen ${\lambda }_i$ je

$y_{i,1}(x)=e^{{\lambda }_{i}x},y_{i,2}(x)=x{e}^{{\lambda }_{i}x},\dots ,y_{i,{\mu }_i}(x)=x^{{\mu }_i-1}{e}^{{\lambda }_{i}x}$.

[To vysvětluje způsob vyjadřování: pomocí výše uvedené transformace získáme skalární rovnici n-tého řádu ze soustavy diferenciálních rovnic prvního řádu, takže máme matici koeficientů jako charakteristický polynom přesně toto, jak bylo zde ukázáno.]

Reálný fundamentální systém

Výše uvedeným postupem získáme n lineárně nezávislých řešení, která mohou obsahovat komplexní čísla. Díky tomu, že pokud má charakteristické rovnice s reálnými koeficienty komplexní kořeny, jsou to dvojice komplexně sdružených čísel, využitím linearity diferenciální rovnice a Eulerova vzorce $e^{ix}=\cos x+i\sin x$ lze komplexní fundamentální systém převést na reálný tak, že každou dvojici komplexně sdružených řešení $y(x),\bar{y}(x)$ z (komplexního) fundamentálního systému převedeme na reálná řešení $\mathrm{R}\mathrm{e}y(x),\mathrm{I}\mathrm{m}y(x)$.

Periodická soustava diferenciálních rovnic prvního řádu

Pro soustavu

${𝐲}^{\prime }(x)=A(x)𝐲(x)$

s $\omega$-periodickou spojitou maticí koeficientů $A:ℝ\to {ℝ}^{m\times m}$ nelze explicitně zkonstruovat fundamentální systém – ale díky Floquetově teorii lze zjistit jaká bude struktura fundamentální matice této soustavy.

Příklady

Lineární soustava diferenciálních rovnic prvního řádu s konstantními koeficienty

Řešíme následující soustavu diferenciálních rovnic

${𝐲}^{\prime }(x)=A\cdot 𝐲(x),A:=\left(\begin{array}{ccc}3& -1& 1\\ 2& 0& 1\\ 1& -1& 2\end{array}\right).$

Matice $A$ má jednoduché vlastní číslo 1 a dvojité vlastní číslo 2. Prostor vlastních vektorů je $E(A,1)=⟨\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\end{array}\right)⟩,E(A,2)=⟨\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right)⟩.$ Pro hlavní řetěz vektorů pro vlastní číslo 2 je stále potřeba

$\text{Kern}(A-2I{)}^2=⟨\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)⟩.$

Zvolíme například

${𝐯}_2:=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 2\end{array}\right)\in \text{Kern}(A-2I{)}^2\setminus \text{Kern}(A-2I).$

Pak musíme jako hlavní vektor v první fázi zvolit ${𝐯}_1:=(A-2I){𝐯}_2=\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 0\end{array}\right)$. Tím dostaneme fundamentální systém $\{{𝐲}_1,{𝐲}_2,{𝐲}_3\}$, kde

${𝐲}_1(x):=e^x\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\end{array}\right),{𝐲}_2(x):=e^{2x}\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 0\end{array}\right),{𝐲}_3(x):=e^{2x}\cdot [\left(\begin{array}{c}2x\\ 2x\\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 2\end{array}\right)].$

Lineární diferenciální rovnice vyššího řádu s konstantními koeficienty

Uvažujme diferenciální rovnici

$y^{(4)}(x)-y(x)=0.$

Tato rovnice má charakteristický polynom ${\lambda }^4-1$, který má čtyři kořeny $1,-1,i,-i$. Odtud hned získáme komplexní fundamentální systém

$\{e^x,e^{-x},e^{ix},e^{-ix}\},$

kterému odpovídá reálný fundamentální systém

$\{e^x,e^{-x},\sin x,\cos x\}.$

Literatura

• Carmen Chicone: Ordinary Differential Equations with Applications. 2. Auflage. Texts in Applied Mathematics 34, Springer-Verlag 2006, Šablona:ISBN.
• Harro Heuser: Gewöhnliche Differentialgleichungen. Teubner, 1995. S. 250.
• Šablona:Citace monografie