Charakteristická rovnice

Charakteristická rovnice (nebo pomocná rovnice) je v matematice algebraická rovnice n-tého stupně, na které závisí řešení diferenciální rovnice n-tého řádu. Charakteristickou rovnici lze použít pro řešení lineárních, homogenních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty, které lze obecně zapsat

$a_n{y}^{(n)}+a_{n-1}{y}^{(n-1)}+\cdots +a_1{y}^{\prime }+a_{0}y=0$

kde $y$ je závislá proměnná a $a_n,a_{n-1},\dots ,a_1,a_0$ jsou konstanty. Tato diferenciální rovnice má charakteristickou rovnici tvaru

$a_n{r}^n+a_{n-1}{r}^{n-1}+\cdots +a_{1}r+a_0=0$

Z kořenů $r^n,r^{n-1},\dots ,r$ charakteristické rovnice můžeme zkonstruovat obecné řešení diferenciální rovnice. Tuto metodu řešení lineárních obyčejných diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty objevil Leonhard Euler, který našel vztah mezi uvedenými rovnicemi. Vlastnosti Eulerovy charakteristické rovnice později podrobněji studovali francouzští matematici Augustin Louis Cauchy a Gaspard Monge.

Derivace

Hledáme-li řešení lineární homogenní diferenciální rovnice s konstantními koeficienty $a_n,a_{n-1},\dots ,a_1,a_0$,

$a_n{y}^{(n)}+a_{n-1}{y}^{(n-1)}+\cdots +a_1{y}^{\text{'}}+a_{0}y=0$

vidíme, že pokud by se řešení rovnalo $y(x)=e^{rx}$, každý sčítanec v rovnici bude konstantním násobkem $e^{rx}$. To pramení z faktu, že derivace exponenciální funkce $e^{rx}$ je násobkem původní funkce, čili $y^{\prime }=r{e}^{rx}$, $y^{″}=r^2{e}^{rx}$ a $y^{(n)}=r^n{e}^{rx}$ jsou všechno násobky $e^{rx}$. To naznačuje, že určité hodnoty $r$ dovolují, aby součet násobků $e^{rx}$ dával nulu, a řešil homogenní diferenciální rovnici. Abychom zjistili hodnotu $r$, dosadíme funkci $y=e^{rx}$ a její derivace do diferenciální rovnice za $y$ a jeho derivace, čímž dostaneme

$a_n{r}^n{e}^{rx}+a_{n-1}{r}^{n-1}{e}^{rx}+\cdots +a_{1}r{e}^{rx}+a_0{e}^{rx}=0$

Protože $e^{rx}$ není nikdy rovno nule, můžeme jím rovnici vydělit, čímž dostaneme charakteristickou rovnici

$a_n{r}^n+a_{n-1}{r}^{n-1}+\cdots +a_{1}r+a_0=0$

Když nalezneme kořeny $r$ této charakteristické rovnice, můžeme z nich sestrojit obecné řešení diferenciální rovnice. Například jestliže se jeden kořen rovná 3, pak obecné řešení bude $y(x)=c{e}^{3x}$, kde $c$ je konstanta.

Sestrojení obecného řešení

Šablona:Rámeček s textem Naleznutí kořenů $r_1,\dots ,r_n$ charakteristické rovnice, nám umožňuje sestrojit obecné řešení diferenciální rovnice. Kořeny mohou být reálné i komplexní a jednoduché nebo vícenásobné. Jestliže charakteristická rovnice má složky s jednoduchými reálnými kořeny, $h$ násobnými kořeny a $k$ komplexními kořeny po řadě odpovídajícími obecným řešením $y_D(x)$, $y_{R_1}(x),\dots ,y_{R_h}(x)$ a $y_{C_1}(x),\dots ,y_{C_k}(x)$, pak obecné řešení diferenciální rovnice je

$y(x)=y_D(x)+y_{R_1}(x)+\cdots +y_{R_h}(x)+y_{C_1}(x)+\cdots +y_{C_k}(x)$

Jednoduché reálné kořeny

Princip superpozice pro lineární homogenní diferenciální rovnice s konstantními koeficienty říká, že jestliže $u_1,\dots ,u_n$ jsou $n$ lineárně nezávislé řešení určité diferenciální rovnice, pak jejich každá lineární kombinace $c_1{u}_1+\cdots +c_n{u}_n$ je také řešením rovnice pro libovolné hodnoty $c_1,\dots ,c_n$. Proto pokud má charakteristická rovnice jednoduché reálné kořeny $r_1,\dots ,r_n$, její obecné řešení bude mít tvar

$y_D(x)=c_1{e}^{r_{1}x}+c_2{e}^{r_{2}x}+\cdots +c_n{e}^{r_{n}x}$

Vícenásobné reálné kořeny

Jestliže charakteristická rovnice má $k$ násobný kořen $r_1$, pak je zřejmé, že $y_p(x)=c_1{e}^{r_{1}x}$ je alespoň jedno její řešení. Ale toto řešení není lineárně nezávislé s dalšími $k-1$ kořeny. Protože $r_1$ má násobnost $k$, diferenciální rovnici můžeme faktorizovat na

${(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}-r_1)}^{k}y=0$

Skutečnost, že $y_p(x)=c_1{e}^{r_{1}x}$ je jedno řešení, nám umožňuje předpokládat, že obecné řešení má tvar $y(x)=u(x)e^{r_{1}x}$, kde $u(x)$ je funkce, kterou je třeba nalézt. Substituce $u{e}^{r_{1}x}$ dává

$(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}-r_1)u{e}^{r_{1}x}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(u{e}^{r_{1}x})-r_{1}u{e}^{r_{1}x}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(u)e^{r_{1}x}+r_{1}u{e}^{r_{1}x}-r_{1}u{e}^{r_{1}x}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(u)e^{r_{1}x}$

pro $k=1$. $k$ násobným použitím této skutečnosti dostáváme

${(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}-r_1)}^{k}u{e}^{r_{1}x}=\frac{{\mathrm{d}}^k}{\mathrm{d}{x}^k}(u)e^{r_{1}x}=0$

což po vydělení $e^{r_{1}x}$ dává

$\frac{{\mathrm{d}}^k}{\mathrm{d}{x}^k}(u)=u^{(k)}=0$

To platí právě tehdy, když $u(x)$ je polynom stupně $k-1$, neboli $u(x)=c_1+c_{2}x+c_3{x}^2+\cdots +c_k{x}^{k-1}$. Protože $y(x)=u{e}^{r_{1}x}$, část obecného řešení odpovídající $r_1$ je

$y_R(x)=e^{r_{1}x}(c_1+c_{2}x+\cdots +c_k{x}^{k-1})$

Komplexní kořeny

Pokud má charakteristická rovnice komplexní kořeny ve tvaru $r_1=a+bi$ a $r_2=a-bi$, pak obecné řešení je $y(x)=c_1{e}^{(a+bi)x}+c_2{e}^{(a-bi)x}$. Použitím Eulerova vzorce $e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$ můžeme toto řešení upravit:

$\begin{array}{ccc}y(x)& =& c_1{e}^{(a+bi)x}+c_2{e}^{(a-bi)x}\\ & =& c_1{e}^{ax}(\cos bx+i\sin bx)+c_2{e}^{ax}(\cos bx-i\sin bx)\\ & =& (c_1+c_2)e^{ax}\cos bx+i(c_1-c_2)e^{ax}\sin bx\end{array}$

kde $c_1$ a $c_2$ jsou libovolné (i komplexní) konstanty.

Pokud použijeme konstanty $c_1=c_2=\frac{1}{2}$, pak dostaneme partikulární řešení $y_1(x)=e^{ax}\cos bx$.

Pokud použijeme konstanty $c_1=\frac{1}{2}i$ a $c_2=-\frac{1}{2}i$, pak dostaneme lineárně nezávislé řešení $y_2(x)=e^{ax}\sin bx$. Díky principu superpozice pro lineární homogenní diferenciální rovnice s konstantními koeficienty, můžeme příspěvek k obecnému řešení diferenciální rovnice pro dvojici komplexně sdružených kořenů $r=a\pm bi$ vyjádřit vzorcem $y_C(x)=e^{ax}(c_1\cos bx+c_2\sin bx)$.