Redukce řádu

Redukce řádu je v matematice technika pro řešení lineárních obyčejných diferenciálních rovnic druhého řádu. Používá se, když známe jedno řešení $y_1(x)$, a potřebujeme najít druhé lineárně nezávislé řešení $y_2(x)$. Metodu lze použít i pro rovnice n-tého řádu. V tomto případě lze kvalifikovaným odhadem získat rovnici (n-1)-ho řádu pro $v$.

Obyčejné lineární diferenciální rovnice druhého řádu

Příklad

Uvažujme obecnou homogenní lineární obyčejnou diferenciální rovnici druhého řádu s konstantními koeficienty

$a{y}^{″}(x)+b{y}^{\prime }(x)+cy(x)=0,$

kde $a,b,c$ jsou reálné nenulové koeficienty, Navíc budeme předpokládat, že její charakteristická rovnice

$a{\lambda }^2+b\lambda +c=0$

má vícenásobný kořen (tj., že diskriminant $b^2-4ac$ se rovná 0). Z toho plyne

${\lambda }_1={\lambda }_2=-\frac{b}{2a}.$

Tedy jedno řešení původní diferenciální rovnice je

$y_1(x)=e^{-\frac{b}{2a}x}.$

Budeme hledat druhé řešení ve tvaru

$y_2(x)=v(x)y_1(x)$

kde $v(x)$ je hledaná funkce. Protože $y_2(x)$ musí vyhovovat původní obyčejné diferenciální rovnici, dosadíme řešení do rovnice a dostaneme

$a(v^{″}{y}_1+2v^{\prime }{y_1}^{\prime }+v{y_1}^{″})+b(v^{\prime }{y}_1+v{y_1}^{\prime })+cv{y}_1=0.$

Přeskládáním členů podle řádu derivace $v(x)$ dostaneme

$\left(a{y}_1\right)v^{″}+(2a{y_1}^{\prime }+b{y}_1)v^{\prime }+(a{y_1}^{″}+b{y_1}^{\prime }+c{y}_1)v=0.$

Protože víme, že $y_1(x)$ je řešením původní úlohy, koeficient posledního termu se rovná nule. Navíc substitucí $y_1(x)$ do koeficientu druhého termu dostaneme (pro tento koeficient)

$2a(-\frac{b}{2a}{e}^{-\frac{b}{2a}x})+b{e}^{-\frac{b}{2a}x}=(-b+b)e^{-\frac{b}{2a}x}=0.$

Takže dostáváme

$a{y}_1{v}^{″}=0.$

Protože $a$ je nenulové (aby původní rovnice byla druhého řádu) a $y_1(x)$ je exponenciální funkce, která nikdy nenabývá hodnoty nula, jednoduše dostáváme

$v^{″}=0.$

Dvojí integrací dostaneme

$v(x)=c_{1}x+c_2$

kde $c_1,c_2$ jsou integrační konstanty. Nyní můžeme druhé řešení zapsat jako

$y_2(x)=(c_{1}x+c_2)y_1(x)=c_{1}x{y}_1(x)+c_2{y}_1(x).$

Protože druhý term v $y_2(x)$ je skalárním násobkem prvního řešení (a je tedy lineárně závislý), můžeme tento term zahodit, což dává výsledné řešení

$y_2(x)=x{y}_1(x)=x{e}^{-\frac{b}{2a}x}.$

Navíc můžeme dokázat, že druhé řešení $y_2(x)$ nalezené touto metodou je lineárně nezávislé na prvním řešení výpočtem Wronskiánu

$W(y_1,y_2)(x)=\left|\begin{array}{cc}{y}_1& x{y}_1\\ {y_1}^{\prime }& y_1+x{y_1}^{\prime }\end{array}\right|=y_1(y_1+x{y_1}^{\prime })-x{y}_1{y_1}^{\prime }=y_1^2+x{y}_1{y_1}^{\prime }-x{y}_1{y_1}^{\prime }=y_1^2=e^{-\frac{b}{a}x}\ne 0.$

Tedy $y_2(x)$ je druhé lineárně nezávislé řešení, které jsme hledali.

Obecná metoda

Je-li dána obecná nehomogenní lineární diferenciální rovnice

$y^{″}+p(t)y^{\prime }+q(t)y=r(t)$

a jedno řešení $y_1(t)$ homogenní rovnice [$r(t)=0$], zkusíme hledat řešení plné nehomogenní rovnice ve tvaru:

$y_2=v(t)y_1(t)$

kde $v(t)$ je libovolná funkce. Tedy

${y_2}^{\prime }=v^{\prime }(t)y_1(t)+v(t){y_1}^{\prime }(t)$

a

${y_2}^{″}=v^{″}(t)y_1(t)+2v^{\prime }(t){y_1}^{\prime }(t)+v(t){y_1}^{″}(t).$

Jestliže tyto jsou dosadíme za $y$, $y^{\prime }$ a $y^{″}$ v diferenciální rovnici, pak

$y_1(t)v^{″}+(2{y_1}^{\prime }(t)+p(t)y_1(t))v^{\prime }+({y_1}^{″}(t)+p(t){y_1}^{\prime }(t)+q(t)y_1(t))v=r(t).$

Protože $y_1(t)$ je řešení původní homogenní diferenciální rovnice, ${y_1}^{″}(t)+p(t){y_1}^{\prime }(t)+q(t)y_1(t)=0$, můžeme se omezit na

$y_1(t)v^{″}+(2{y_1}^{\prime }(t)+p(t)y_1(t))v^{\prime }=r(t)$

což je diferenciální rovnice prvního řádu pro $v^{\prime }(t)$ (redukce řádu). Vydělením výrazem $y_1(t)$ dostaneme

$v^{″}+(\frac{2{y_1}^{\prime }(t)}{y_1(t)}+p(t))v^{\prime }=\frac{r(t)}{y_1(t)}$.

Integrační faktor: $\mu (t)=e^{\int (\frac{2{y_1}^{\prime }(t)}{y_1(t)}+p(t))\mathrm{d}t}=y_1^2(t)e^{\int p(t)\mathrm{d}t}$.

Znásobením diferenciální rovnice integračním faktorem $\mu (t)$ lze rovnici pro $v(t)$ redukovat na

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(v^{\prime }(t)y_1^2(t)e^{\int p(t)\mathrm{d}t})=y_1(t)r(t)e^{\int p(t)\mathrm{d}t}$.

Zintegrováním poslední rovnice dostaneme $v^{\prime }(t)$ obsahující jednu integrační konstantu. Dalším zintegrováním $v^{\prime }(t)$ dostaneme obecné řešení původní nehomogenní rovnice druhého řádu, které obsahuje dvě integrační konstanty, jak je očekáváno:

$y_2(t)=v(t)y_1(t)$.

Související články

• Variace konstant

Reference

• W. E. Boyce and R. C. DiPrima, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (8th edition), John Wiley & Sons, Inc., 2005. Šablona:ISBN.
• Šablona:Citace monografieŠablona:Nedostupný zdroj
• Eric W. Weisstein, Second-Order Ordinary Differential Equation Second Solution, From MathWorld—A Wolfram Web Resource.