Bernoulliho polynom

Bernoulliho polynomy je v matematice posloupnost polynomů pojmenovaných po Jacobu Bernoullim, které kombinují Bernoulliho čísla a binomické koeficienty. Používají se pro rozvoj funkcí na řady a s Eulerovým–Maclaurinovým vzorcem.

Bernoulliho polynomy se objevují při studiu mnoha speciálních funkcí, např. Riemannovy funkce zeta a Hurwitzovy funkce zeta. Tvoří Appellovu posloupnost (tj. Shefferovu posloupnost pro operátor obyčejné derivace). U Bernoulliho polynomů počet průsečíků s osou x v jednotkovém intervalu neroste se stupněm polynomu. V limitě se blíží funkcím sinus a kosinus (jsou-li vhodným způsobem zvětšeny).

Bernoulliho polynomy

Podobnou množinou polynomů založených na vytvořující funkci, je rodina Eulerových polynomů.

Reprezentace

Bernoulliho polynomy B_n lze definovat mnoha různými způsoby, jedním z nich je použitím vytvořující funkce.

Vytvořující funkce

Vytvořující funkce pro Bernoulliho polynomy je

$\frac{t{e}^{xt}}{e^t-1}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{B}_n(x)\frac{t^n}{n!}.$

Vytvořující funkce pro Eulerovy polynomy je

$\frac{2e^{xt}}{e^t+1}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{E}_n(x)\frac{t^n}{n!}.$

Explicitní vzorec

$B_n(x)=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})B_{n-k}{x}^k,$

$E_m(x)=\sum _{k=0}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k})\frac{E_k}{2^k}{(x-\frac{1}{2})}^{m-k}.$

pro n ≥ 0, kde B_k jsou Bernoulliho čísla, a E_k jsou Eulerova čísla.

Reprezentace diferenciálním operátorem

Bernoulliho polynomy lze také vyjádřit vztahem

$B_n(x)=\frac{D}{e^D-1}{x}^n$

kde D = d/dx je operátor derivace podle x a výraz pod zlomkovou čarou je vyjádřen jako rozvoj formální mocninné řady. Odtud plyne, že

$\underset{a}{\overset{x}{\int }}{B}_n(u)du=\frac{B_{n+1}(x)-B_{n+1}(a)}{n+1}.$

srovnejte s integrály níže. Stejným způsbem lze zapsat Eulerovy polynomy:

$E_n(x)=\frac{2}{e^D+1}{x}^n.$

Reprezentace integrálním operátorem

Bernoulliho polynomy jsou také jednoznačné polynomy určené vztahem

$\underset{x}{\overset{x+1}{\int }}{B}_n(u)du=x^n.$

Integrální transformace

$(Tf)(x)=\underset{x}{\overset{x+1}{\int }}f(u)du$

na polynomy f dává

$\begin{array}{cc}(Tf)(x)=\frac{e^D-1}{D}f(x)& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{D^n}{(n+1)!}f(x)\\ & =f(x)+\frac{f^{\prime }(x)}{2}+\frac{f^{″}(x)}{6}+\frac{f^{‴}(x)}{24}+\cdots .\end{array}$

což lze použít pro získání inverzního vzorce uvedeného níže.

Jiný explicitní vzorec

Explicitní vzorec pro Bernoulliho polynomy je

$B_m(x)=\sum _{n=0}^m\frac{1}{n+1}\sum _{k=0}^n(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(x+k{)}^m.$

Což je řada podobná Hurwitzově funkci zeta v komplexní rovině. Skutečně existuje vztah

$B_n(x)=-n\zeta (1-n,x)$

kde ζ(s, q) je Hurwitzova funkce zeta. Ta zobecňuje Bernoulliho polynomy na jiné než celé hodnoty n.

Vnitřní součet může být chápán jako n-tá dopředná diference výrazu x^m, čili

${\mathrm{\Delta }}^n{x}^m=\sum _{k=0}^n(-1{)}^{n-k}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(x+k{)}^m$

kde Δ je dopředný diferenční operátor. Je tedy možné psát

$B_m(x)=\sum _{n=0}^m\frac{(-1{)}^n}{n+1}{\mathrm{\Delta }}^n{x}^m.$

Tento vzorec může být odvozen z identity uvedené výše: Protože pro dopředný diferenční operátor Δ platí

$\mathrm{\Delta }=e^D-1$

kde D je derivace podle x, z Mercatorovy řady vyplývá:

$\frac{D}{e^D-1}=\frac{\log (\mathrm{\Delta }+1)}{\mathrm{\Delta }}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-\mathrm{\Delta }{)}^n}{n+1}.$

Pokud je aplikována na polynom m-tého stupně, jako např. x^m, můžeme nechat n jít od 0 pouze do m.

Integrální reprezentaci Bernoulliho polynomů popisuje Nörlundův-Riceův integrál, což vyplývá z vyjádření pomocí konečného rozdílu.

Explicitní vzorec pro Eulerovy polynomy popisuje vztah

$E_m(x)=\sum _{n=0}^m\frac{1}{2^n}\sum _{k=0}^n(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(x+k{)}^m.$

Výše uvedený vzorec lze odvodit obdobně, pomocí faktu, že

$\frac{2}{e^D+1}=\frac{1}{1+\mathrm{\Delta }/2}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-\frac{\mathrm{\Delta }}{2}{)}^n.$

Součty p-tých mocnin

Užitím výše uvedené integrální reprezentace $x^n$ nebo identity $B_n(x+1)-B_n(x)=n{x}^{n-1}$ dostáváme

$\sum _{k=0}^x{k}^p=\underset{0}{\overset{x+1}{\int }}{B}_p(t)dt=\frac{B_{p+1}(x+1)-B_{p+1}}{p+1}$

(pokud předpokládáme, že 0⁰ = 1).

Bernoulliho a Eulerova čísla

Bernoulliho čísla jsou hodnoty Bernulliho polynomů v bodě 0: $B_n=B_n(0).$

Tato definice dává $\zeta (-n)=\frac{(-1{)}^n}{n+1}{B}_{n+1}$ pro $n=0,1,2,\dots$.

Alternativní konvence definuje Bernoulliho čísla jako hodnoty Bernulliho polynomů v bodě 1: $B_n=B_n(1).$

Tyto dvě konvence se liší pouze pro $n=1$, protože $B_1(1)=\frac{1}{2}=-B_1(0)$.

Eulerova čísla jsou dána vztahem $E_n=2^n{E}_n(\frac{1}{2}).$

Explicitní výrazy pro nízký stupňů

Několik prvních Bernoulliho polynomů je:

$\begin{array}{cc}{B}_0(x)& =1\\ B_1(x)& =x-\frac{1}{2}\\ B_2(x)& =x^2-x+\frac{1}{6}\\ B_3(x)& =x^3-\frac{3}{2}{x}^2+\frac{1}{2}x\\ B_4(x)& =x^4-2x^3+x^2-\frac{1}{30}\\ B_5(x)& =x^5-\frac{5}{2}{x}^4+\frac{5}{3}{x}^3-\frac{1}{6}x\\ B_6(x)& =x^6-3x^5+\frac{5}{2}{x}^4-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{42}.\end{array}$

Několik prvních Eulerových polynomů je:

$\begin{array}{cc}{E}_0(x)& =1\\ E_1(x)& =x-\frac{1}{2}\\ E_2(x)& =x^2-x\\ E_3(x)& =x^3-\frac{3}{2}{x}^2+\frac{1}{4}\\ E_4(x)& =x^4-2x^3+x\\ E_5(x)& =x^5-\frac{5}{2}{x}^4+\frac{5}{2}{x}^2-\frac{1}{2}\\ E_6(x)& =x^6-3x^5+5x^3-3x.\end{array}$

Maxima a minima

Pro vyšší n se množství změn v B_n(x) mezi x = 0 a x = 1 zvětšuje. Například

$B_{16}(x)=x^{16}-8x^{15}+20x^{14}-\frac{182}{3}{x}^{12}+\frac{572}{3}{x}^{10}-429x^8+\frac{1820}{3}{x}^6-\frac{1382}{3}{x}^4+140x^2-\frac{3617}{510}$

což ukazuje, že hodnota v x = 0 (a v x = 1) je −3617/510 ≈ −7.09, zatímco pro x = 1/2, hodnota je 118518239/3342336 ≈ +7.09. D.H. Lehmer ukázal, že pro maximální hodnotu B_n(x) mezi 0 a 1 platíŠablona:Sfn

$M_n<\frac{2n!}{(2\pi {)}^n}$

pokud n není 2 modulo 4, kdy je

$M_n=\frac{2\zeta (n)n!}{(2\pi {)}^n}$

(kde $\zeta (x)$ je Riemannova funkce zeta). Pro minimální hodnotu platí

$m_n>\frac{-2n!}{(2\pi {)}^n}$

pokud n není 0 modulo 4, kdy je

$m_n=\frac{-2\zeta (n)n!}{(2\pi {)}^n}.$

Tyto meze jsou docela blízko skutečným maximům a minimům. Lehmer udává i přesnější meze.

Diference a derivace

Bernoulliho a Eulerovy polynomy vyhovují mnoha vztahům z umbralního počtu:

$\mathrm{\Delta }{B}_n(x)=B_n(x+1)-B_n(x)=n{x}^{n-1},$

$\mathrm{\Delta }{E}_n(x)=E_n(x+1)-E_n(x)=2(x^n-E_n(x)).$

(Δ je dopředný diferenční operátor). Také,

$E_n(x+1)+E_n(x)=2x^n.$

Tyto posloupnosti polynomů jsou Appellovými posloupnostmi:

${B_n}^{\prime }(x)=n{B}_{n-1}(x),$

${E_n}^{\prime }(x)=n{E}_{n-1}(x).$

Převody

$B_n(x+y)=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})B_k(x)y^{n-k}$

$E_n(x+y)=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})E_k(x)y^{n-k}$

Tyto identity jsou také ekvivalentní s tvrzením, že obě posloupnosti polynomů jsou Appellovou posloupností. (Jiným příkladem jsou Hermitovy polynomy.)

Symetrie

$B_n(1-x)=(-1{)}^n{B}_n(x),n\ge 0,$

$E_n(1-x)=(-1{)}^n{E}_n(x)$

$(-1{)}^n{B}_n(-x)=B_n(x)+n{x}^{n-1}$

$(-1{)}^n{E}_n(-x)=-E_n(x)+2x^n$

$B_n\left(\frac{1}{2}\right)=(\frac{1}{2^{n-1}}-1)B_n,n\ge 0\text{ z multiplikačních vět níže.}$

Zhi-Wei Sun a Hao Pan ukázali překvapivý vztah symetrie: Pokud Šablona:Math a Šablona:Math, pakŠablona:Sfn

$r[s,t;x,y{]}_n+s[t,r;y,z{]}_n+t[r,s;z,x{]}_n=0,$

kde

$[s,t;x,y{]}_n=\sum _{k=0}^n(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{s}{k})(\genfrac{}{}{0ex}{}{t}{n-k})B_{n-k}(x)B_k(y).$

Fourierova řada

Fourierova řada Bernoulliho polynomů je také Dirichletova řada, vzhledem k rozvoji

$B_n(x)=-\frac{n!}{(2\pi i{)}^n}\sum _{k=0}\frac{e^{2\pi ikx}}{k^n}=-2n!\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\cos (2k\pi x-\frac{n\pi }{2})}{(2k\pi {)}^n}.$

Všimněte si, že pro velké n tento výraz konverguje ke vhodně škalovaným trigonometrickým funkcím.

To je speciální případ analogického tvaru Hurwitzovy funkce zeta

$B_n(x)=-\mathrm{\Gamma }(n+1)\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\exp (2\pi ikx)+e^{i\pi n}\exp (2\pi ik(1-x))}{(2\pi ik{)}^n}.$

Tento rozvoj je platný pouze pro 0 ≤ x ≤ 1, když n ≥ 2 a je pro 0 < x < 1, když n = 1.

Je možné také spočítat Fourierovu řadu pro Eulerovy polynomy. Pokud definujeme funkce

$C_{\nu }(x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{\cos ((2k+1)\pi x)}{(2k+1{)}^{\nu }}$

a

$S_{\nu }(x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin ((2k+1)\pi x)}{(2k+1{)}^{\nu }}$

pro $\nu >1$, pak Eulerův polynom má Fourierovu řadu

$C_{2n}(x)=\frac{(-1{)}^n}{4(2n-1)!}{\pi }^{2n}{E}_{2n-1}(x)$

a

$S_{2n+1}(x)=\frac{(-1{)}^n}{4(2n)!}{\pi }^{2n+1}{E}_{2n}(x).$

Všimněte si, že $C_{\nu }$ je lichá a $S_{\nu }$ sudá:

$C_{\nu }(x)=-C_{\nu }(1-x)$

a

$S_{\nu }(x)=S_{\nu }(1-x).$

Jsou příbuzné s Legendrovou funkcí chí ${\chi }_{\nu }$ jako

$C_{\nu }(x)=\mathrm{Re}{\chi }_{\nu }(e^{ix})$

a

$S_{\nu }(x)=\mathrm{Im}{\chi }_{\nu }(e^{ix}).$

Inverze

Bernoulliho a Eulerovy polynomy je možné invertovat pro vyjádření monomů pomocí polynomů.

Konkrétně z výše uvedené části o integrálních operátorech zjevně plyne, že

$x^n=\frac{1}{n+1}\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{k})B_k(x)$

a

$x^n=E_n(x)+\frac{1}{2}\sum _{k=0}^{n-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})E_k(x).$

Vztah s klesajícím faktoriálem

Bernoulliho polynomy je možné vyjádřit rozvojem na členy klesajícího faktoriálu $(x{)}_k$ jako

$B_{n+1}(x)=B_{n+1}+\sum _{k=0}^n\frac{n+1}{k+1}\left\{\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right\}(x{)}_{k+1}$

kde $B_n=B_n(0)$ a

$\left\{\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right\}=S(n,k)$

označuje Stirlingovo číslo druhého druhu. Výše uvedený vztah může být invertován, aby se klesající faktoriál vyjadřil pomocí Bernoulliho polynomů:

$(x{)}_{n+1}=\sum _{k=0}^n\frac{n+1}{k+1}\left[\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right](B_{k+1}(x)-B_{k+1})$

kde

$\left[\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right]=s(n,k)$

označuje Stirlingovo číslo prvního druhu.

Věty o násobení

Věty násobení objevil Joseph Ludwig Raabe v roce 1851:

Pro přirozené číslo Šablona:Math,

$B_n(mx)=m^{n-1}\sum _{k=0}^{m-1}{B}_n(x+\frac{k}{m})$

$E_n(mx)=m^n\sum _{k=0}^{m-1}(-1{)}^k{E}_n(x+\frac{k}{m})\text{ for }m=1,3,\dots$

$E_n(mx)=\frac{-2}{n+1}{m}^n\sum _{k=0}^{m-1}(-1{)}^k{B}_{n+1}(x+\frac{k}{m})\text{ for }m=2,4,\dots$

Integrály

Dva určité integrály, které ukazují vztah Bernoulliho a Eulerových polynomů k Bernoulliho a Eulerovým číslům jsou:Šablona:Sfn

• $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{B}_n(t)B_m(t)dt=(-1{)}^{n-1}\frac{m!n!}{(m+n)!}{B}_{n+m}\text{for }m,n\ge 1$
• $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{E}_n(t)E_m(t)dt=(-1{)}^{n}4(2^{m+n+2}-1)\frac{m!n!}{(m+n+2)!}{B}_{n+m+2}$

Další integrální vzorec jeŠablona:Sfn

• $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{E}_n(x+y)\log (\mathrm{tg}\frac{\pi }{2}x)dx=n!\sum _{k=1}^{\lfloor \frac{n+1}{2}\rfloor }\frac{(-1{)}^{k-1}}{{\pi }^{2k}}(2-2^{-2k})\zeta (2k+1)\frac{y^{n+1-2k}}{(n+1-2k)!}$

se speciálním případem pro $y=0$

• $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{E}_{2n-1}\left(x\right)\log (\mathrm{tg}\frac{\pi }{2}x)dx=\frac{(-1{)}^{n-1}(2n-1)!}{{\pi }^{2n}}(2-2^{-2n})\zeta (2n+1)$
• $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{B}_{2n-1}\left(x\right)\log (\mathrm{tg}\frac{\pi }{2}x)dx=\frac{(-1{)}^{n-1}}{{\pi }^{2n}}\frac{2^{2n-2}}{(2n-1)!}\sum _{k=1}^n(2^{2k+1}-1)\zeta (2k+1)\zeta (2n-2k)$
• $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{E}_{2n}\left(x\right)\log (\mathrm{tg}\frac{\pi }{2}x)dx=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{B}_{2n}\left(x\right)\log (\mathrm{tg}\frac{\pi }{2}x)dx=0$
• $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{B}_{2n-1}\left(x\right)\mathrm{cotg}\left(\pi x\right)dx=\frac{2(2n-1)!}{{(-1)}^{n-1}{\left(2\pi \right)}^{2n-1}}\zeta (2n-1)$

Periodické Bernoulliho polynomy

Periodický Bernoulliho polynom Šablona:Math je Bernoulliho polynom vyčíslený v desetinné části argumentu Šablona:Math. Tyto funkce se objevují jako zbytkový člen v Eulerově–Maclaurinově vzorci, který vyjadřuje vztah mezi sumami a integrály. První polynom je pilovitá funkce.

Tyto funkce ve skutečnosti nejsou polynomy a správně by se měly nazývat periodické Bernoulliho funkce, přičemž Šablona:Math dokonce ani není funkce, je to derivace pilovité funkce, která tvoří Diracův hřeben.

Zajímavé jsou následující vlastnosti, platné pro všechna $x$:

$\begin{array}{cc}& P_k(x)\text{ je spojitá pro všechna }k>1\\ & {P_k}^{\prime }(x)\text{ existuje a je spojitá pro }k>2\\ & P{\text{'}}_k(x)=k{P}_{k-1}(x),k>2\end{array}$

Odkazy

Literatura

• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace sborníku
• Šablona:Citace periodika
• Šablona:Citace periodika (Recenze vztahu k Hurwitzově funkci zeta a Lerchově transcendentu.)
• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace periodika
• Šablona:Citace periodika
• Šablona:Citace periodika
• Šablona:Citace periodika

Související články

• Bernoulliho číslo
• Bernoulliho polynomy druhého druhu
• Stirlingův polynom
• Polynomiální výpočet součtu mocnin v aritmetice progresí

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat
• Seznam integrálních identit obsahující Bernoulliho polynomy – Národní institut standardů a technologie