Bernoulliho číslo

Bernoulliho čísla je nekonečná posloupnost racionálních čísel $B_k,$ kterou popsal v roce 1631 Johann Faulhaber jako nástroj pro usnadnění počítání sum určitých mocnin po sobě jdoucích přirozených čísel. Toto použití a některé jejich vlastnosti podrobně popsal Jacob Bernoulli v knize Ars Conjectandi (vydané po smrti autora v roce 1713). Uvádí tam mimo jiné, že použitím Faulhaberova vzorce (viz níže) dokáže spočítat součet: $1^{10}+2^{10}+3^{10}+...+1000^{10}$ „za půl čtvrthodiny”.

Bernoulliho čísla našla použití v matematické analýze (při rozvoji funkcí v Taylorovu řadu) a v teorii čísel.

Definice

V současné době existují v matematice dvě definice Bernoulliho čísel: novější – uvedená níže jako definice 1 a starší – níže citovaná jako definice 2. Pro rozlišení se Bernoulliho čísla podle definice 1 označují $B_k,$ a podle definice 2 $B_k^{*}.$ Čísla $B_k^{*}$ tvoří vlastní podmnožinu hodnot $B_k.$

Bernoulliho čísla – definice 1

Bernoulliho čísla $B_k$ jsou koeficienty v Taylorově rozvoji funkce:Šablona:Sfn

$\frac{x}{e^x-1}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_n\cdot x^n}{n!}.$

Tato řada konverguje pro $|x|<2\pi .$

Bernoulliho čísla je možné také definovat rekurentně pomocí vzorce:

$\sum _{k=0}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+1}{k})\cdot B_k=0,$

kde $B_0=1.$

Bernoulliho čísla s lichými indexy většími než 2 podle této definice jsou rovna 0.

Čísla se sudými indexy většími než 0 jsou střídavě kladná a záporná.

Prvních 21 Bernoulliho čísel $B_k$ počínaje $B_0$:

$1,-\frac{1}{2},\frac{1}{6},0,-\frac{1}{30},0,\frac{1}{42},0,-\frac{1}{30},0,\frac{5}{66},0,-\frac{691}{2730},0,\frac{7}{6},0,-\frac{3617}{510},0,\frac{43867}{798},0,-\frac{174611}{330},\dots$

Bernoulliho čísla – definice 2

Bernoulliho čísla $B_k^{*}$ jsou koeficienty v Taylorově rozvoji funkce:

$1-\frac{x}{2}\mathrm{cotg}\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{B_1^{*}\cdot x^2}{2!}+\frac{B_2^{*}\cdot x^4}{4!}+\frac{B_3^{*}\cdot x^6}{6!}+\dots$

Prvních několik Bernoulliho čísel $B_k^{*}$ počínaje $B_1^{*}$:

$\frac{1}{6},\frac{1}{30},\frac{1}{42},\frac{1}{30},\frac{5}{66},\frac{691}{2730},\frac{7}{6},\frac{3617}{510},\frac{43867}{798},\frac{174611}{330},\frac{854513}{138},\dots$

Vztah mezi čísly $B_n^{*}$ a $B_n$ popisuje vzorec:

$B_n=\{\begin{array}{cc}1,& \text{pro }n=0\\ -\frac{1}{2},& \text{pro }n=1\\ (-1{)}^{(\frac{n}{2})-1}\cdot B_{\frac{n}{2}}^{*},& \text{pro }n\text{ sudé}\\ 0,& \text{pro }n\text{ liché}\end{array}$

Asymptotický vzorec

Použitím Stirlingova vzorce získáme následující přiblížení hodnot Bernoulliho čísel:

$B_n\approx (-1{)}^{n-1}\cdot 4\cdot \sqrt{\pi \cdot n}\cdot {\left(\frac{n}{\pi e}\right)}^{2n}.$

Staudtova věta

Každé Bernoulliho číslo $B_{\nu }$ je možné vyjádřit ve tvaruŠablona:Sfn:

$B_{\nu }=C_{\nu }-\sum \frac{1}{k+1},$

kde $C_{\nu }$ je přirozené číslo, a sčítání se provádí pro takové dělitele k čísla $\nu ,$ pro které je $k+1$ prvočíslo.

Například Bernoulliho číslo $B_6=\frac{1}{42}$ je možné zapsat ve tvaru $B_6=1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{7},$ protože číslo 6 má čtyři dělitele: 1, 2, 3, 6, z nichž tři (1, 2, 6) jsou čísla o 1 menší než prvočísla 2, 3, 7.

Příklady použití

Bernoulliho čísla se objevují v Taylorových rozvojích mnoha funkcí jako $\mathrm{t}\mathrm{g}x,\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{g}x,\mathrm{t}\mathrm{g}\mathrm{h}x,\frac{x}{e^x-1},\ln |\sin (x)|,$ aj.

Faulhaberův vzorec pro součet mocnin po sobě jdoucích přirozených čísel:

$\sum _{j=1}^n{j}^k=\frac{1}{k+1}\cdot ⟨n^{k+1}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{K+1}{1})B_1{n}^k+(\genfrac{}{}{0ex}{}{K+1}{2})B_2{n}^{k-1}+\cdots +(\genfrac{}{}{0ex}{}{K+1}{k})B_{k}n⟩.$

Vztah s Riemannovou funkcí zeta popisuje Eulerův vzorec:

$\zeta (2k)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^{2k}}=\frac{{\pi }^{2k}{2}^{2k-1}}{(2k)!}{B}_{2k}.$

Z něj plyne, že

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}.$

Další vzorec pocházející od Leonharda Eulera:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n+1}\frac{1}{n^{2k}}=(-1{)}^{k+1}\frac{{\pi }^{2k}(2^{2k-1}-1)}{(2k)!}{B}_{2k}.$

Bernoulliho čísla byla studována mj. spolu s regulárními prvočísly. Mnoho dalších vlastnosti Bernoulliho čísel a jejich dalších použití je možné najít v níže uvedené literatuře.

Odkazy

Literatura

• Šablona:Citace elektronické monografie
• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace elektronické monografie

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat