Fourierova řada

Ortogonální projekce funkce f z Hilbertova prostoru do nadroviny konečné dimenze n.

Fourierova řada slouží k aproximaci periodické funkce řadou harmonických funkcí sinus a kosinus. Základní myšlenka zápisu funkce ve formě uvedené řady spočívá v tzv. ortogonálním rozkladu funkce v lineárním prostoru funkcí po částech spojitých na intervalu $⟨0,T⟩$ spolu s definovaným skalárním součinem:

$f\cdot g=\underset{0}{\overset{T}{\int }}f(t)g(t)dt$,

tvořících tzv. Hilbertův prostor, kde $T$ je doba periody průběhu funkce.

Fourierova řada je pojmenována po francouzském fyzikovi a matematikovi Josephu Fourierovi.

Ortogonální rozklad funkce

Mějme lineární podprostor $\rho$ dimenze $n$ Hilbertova prostoru nekonečné dimenze o ortonormální bázi $E$:

$\rho \subset H$$dimH=\mathrm{\infty }$$\dim \rho =n$$f\in H$$f_n\in \rho$$n=1,2,3,\cdots$$E=e_1,e_2,e_3,\cdots$

pak pro Euklidovskou vzdálenost funkcí $f$ a $f_n$ platí:

${|f-f_n|}^2=(f-f_n)\cdot (f-f_n)=f\cdot f-2f\cdot f_n+f_n\cdot f_n=f\cdot f-2f\cdot \sum _i^{}{s}_i{e}_i+\sum _i^{}{s}_i^2=$

$=f\cdot f+\sum _i^{}{\left({f\cdot e}_i\right)}^2-2\sum _i^{}{s}_i(f\cdot e_i)+\sum _i^{}{s}_i^2-\sum _i^{}{\left({f\cdot e}_i\right)}^2=f\cdot f+\sum _i^{}{((f\cdot e_i)-s_i)}^2-\sum _i^{}{\left({f\cdot e}_i\right)}^2$ kde $i=1,\cdots ,n$

a

$s_i=f\cdot e_i\Rightarrow {|f-f_n|}^2=f\cdot f-\sum _i^{}{\left({f\cdot e}_i\right)}^2={\left|f\right|}^2-{\left|f_n\right|}^2\Rightarrow {\left|f\right|}^2\ge {\left|f_n\right|}^2\Rightarrow f\sim f_n$

kde $s_1,\cdots ,s_n$ jsou souřadnice $f_n$ vzhledem k $E$, pak můžeme aproximovat funkci $f$ následující řadou:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{|f-f_n|}^2=0\Rightarrow {\left|f\right|}^2\approx {\left|f_n\right|}^2\Rightarrow f\approx f_n=\sum _i^{}(f\cdot e_i)e_i$ kde $i=1,\cdots ,n$

Fourierova řada v goniometrickém tvaru

Množina $\{\frac{1}{\sqrt{T}},\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{T}}\cos \omega t,\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{T}}\sin \omega t,\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{T}}\cos 2\omega t,\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{T}}\sin 2\omega t,\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{T}}\cos 3\omega t,\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{T}}\sin 3\omega t,\cdots \}$ tvoří ortonormální bázi výše uvedeného Hilbertova prostoru nekonečné dimenze, pak funkci $f$ můžeme aproximovat pomocí následující goniometrické řady:

$f\left(t\right)\approx \sum _0^{\mathrm{\infty }}{a}_n\cos n\omega t+b_n\sin n\omega t$$n\mathbb{\in }\mathbb{N}$

kde $a_0=\frac{1}{T}\underset{0}{\overset{T}{\int }}f\left(t\right)dt$ $a_n=\frac{2}{T}\underset{0}{\overset{T}{\int }}f\left(t\right)\cos n\omega tdt$ $b_n=\frac{2}{T}\underset{0}{\overset{T}{\int }}f\left(t\right)\sin n\omega tdt$ pro $n=1,2,3,\cdots$.

Koeficient $b_0$ nemá smysl uvažovat, neboť $b_0\sin 0=0$.

Pokud se dvě integrovatelné funkce liší v konečném počtu bodů, tak je jasné, že mají stejnou Fourierovu řadu. Z toho důvodu nepíšeme mezi funkcí $f$ a její Fourierovou řadou rovnítko. Pokud je však funkce vybrána z obecnější množiny než jen z množiny integrovatelných funkcí, tak se jí Fourierova řada může rovnat. Například platí následující tvrzení: pokud je funkce $f$ ohraničená a po částech spojitá a má i ohraničenou po částech spojitou první derivaci, tak její Fourierova řada má v každém bodě součet, a ten je roven aritmetickému průměru pravé a levé limity této funkce v tomto bodě. Tedy v bodě spojitosti je to hodnota funkce. Fourierova řada spojité funkce nemusí (v některém bodě) vůbec konvergovat.

V praxi se funkce $f$ aproximuje konečným rozvojem, kde sčítáme jen několik prvních členů, čímž se genericky s narůstajícím počtem členů zvyšuje přesnost této aproximace.

Příklad

Exponenciála

Sudá a lichá funkce

Mějme exponenciálu zúženě definovanou na intervalu $<0,1>$ a vytvořme z ní sudou a lichou periodickou funkci s periodou $T=2$ na intervalu $<-1,1>$ a úhlovou frekvencí $\omega =\pi$, pak můžeme uvedenou sudou a lichou funkci aproximovat následujícími řadami:

sudá funkce:

$a_0=\frac{1}{2}(\underset{-1}{\overset{0}{\int }}{e}^{-t}dt+\underset{0}{\overset{1}{\int }}{e}^{t}dt)=e-1$

$a_n=\underset{-1}{\overset{0}{\int }}{e}^{-t}\cos n\pi tdt+\underset{0}{\overset{1}{\int }}{e}^t\cos n\pi tdt=2\frac{(-1{)}^{n}e-1}{(n\pi {)}^2+1}$

$b_n=0$

kde $n=1,2,3,\cdots$

$f\left(t\right)\approx (e-1)+2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n}e-1}{(n\pi {)}^2+1}\cos n\pi t$

lichá funkce:

$a_0=0$

$a_n=0$

$b_n=-\underset{-1}{\overset{0}{\int }}{e}^{-t}\sin n\pi tdt+\underset{0}{\overset{1}{\int }}{e}^t\sin n\pi tdt=-2n\pi \frac{(-1{)}^{n}e-1}{(n\pi {)}^2+1}$

kde $n=1,2,3,\cdots$

$f\left(t\right)\approx -2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}n\pi \frac{(-1{)}^{n}e-1}{(n\pi {)}^2+1}\sin n\pi t$

Poznamenejme, že Fourierova řada sudé resp. liché funkce obsahuje pouze členy s funkcí cosinus resp. sinus.

Fourierova řada v exponenciálním tvaru

Z následujících vztahů:

$e^{in\omega t}+e^{-in\omega t}=(\cos n\omega t+i\sin n\omega t)+(\cos n\omega t-i\sin n\omega t)=2\cos n\omega t$

$e^{in\omega t}-e^{-in\omega t}=(\cos n\omega t+i\sin n\omega t)-(\cos n\omega t-i\sin n\omega t)=i2\sin n\omega t$

a

$a_n\cos n\omega t+b_n\sin n\omega t=\frac{a_n}{2}(e^{in\omega t}+e^{-in\omega t})-i\frac{b_n}{2}(e^{in\omega t}-e^{-in\omega t})=$

$=\frac{1}{2}(a_n-i{b}_n)e^{in\omega t}+\frac{1}{2}(a_n+i{b}_n)e^{-in\omega t}=({c_{n}e}^{in\omega t}+{\bar{c}}_n{e}^{-in\omega t})$

dostaneme:

$2c_n=(a_n-i{b}_n)=\frac{2}{T}\underset{0}{\overset{T}{\int }}f\left(t\right)(\cos n\omega t-i\sin n\omega t)dt\Rightarrow c_n=\frac{1}{T}\underset{0}{\overset{T}{\int }}f\left(t\right)e^{-in\omega t}dt$

$2{\bar{c}}_n=(a_n+i{b}_n)=\frac{2}{T}\underset{0}{\overset{T}{\int }}f\left(t\right)(\cos n\omega t+i\sin n\omega t)dt\Rightarrow {\bar{c}}_n=\frac{1}{T}\underset{0}{\overset{T}{\int }}f\left(t\right)e^{in\omega t}dt$,

takže potom můžeme vyjádřit aproximaci funkce $f$ pomocí následující exponenciální řady:

$f\left(t\right)\approx \sum _{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{e}^{in\omega t}$$n\mathbb{\in }\mathbb{Z}$ kde $a_0=c_0=\bar{f}$ je střední hodnota funkce $f$.

Parsevalova rovnost

Nechť

$f\left(t\right)\approx \sum _0^{\mathrm{\infty }}{a}_n\cos n\omega t+b_n\sin n\omega t=\sum _{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{e}^{in\omega t}$$n\mathbb{\in }\mathbb{Z}$.

Pak platí následující Parsevalova rovnost, vyjadřující, že efektivní hodnota aproximované funkce (střední hodnota jejího čtverce) je rovna sumě kvadrátů koeficientů aproximující Fourierovy řady:

$\frac{1}{T}\underset{0}{\overset{T}{\int }}{f}^2(t)\mathrm{d}t=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(a_n^2+b_n^2)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{c}_n^2$.

Jméno tomuto tvrzení dal francouzský matematik Marc-Antoine Parseval. Pokud levou stranu rovnice interpretujeme jako čtverec normy funkce $f$, lze Parsevalovu rovnost číst jako zobecnění Pythagorovy věty na nekonečněrozměrný prostor funkcí.

Fourierova transformace

Ze vztahu doby periody blížící se nekonečnu a úhlové frekvence sítě:

$T\omega =2\pi \Rightarrow (T\to \mathrm{\infty }\Rightarrow \omega \to 0)\Rightarrow n\omega \equiv \omega \equiv d\omega$

lze zavést užitím limitních přechodů spojitou Fourierovu transformaci:

$\underset{T\to \mathrm{\infty }}{\lim }T{c}_n=\underset{T\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{-\frac{T}{2}}{\overset{\frac{T}{2}}{\int }}f\left(t\right)e^{-in\omega t}dt=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f\left(t\right)e^{-i\omega t}dt=F\left(\omega \right)$

a naopak inverzní spojitou Fourierovu transformaci:

$f\left(t\right)=\underset{T\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}T\frac{\omega }{2\pi }{c}_n{e}^{in\omega t}=\frac{1}{2\pi }\sum _{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\underset{T\to \mathrm{\infty }}{\lim }T{c}_n{e}^{in\omega t}\omega =\frac{1}{2\pi }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}F\left(\omega \right)e^{in\omega t}\text{dω}$

Odkazy

Související články

• Fourierova transformace
• Rychlá Fourierova transformace

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat
• Fourier Series 3D - interaktivní demonstrace principu Fourierových řad HTML5 a JavaScript: Unikátní interaktivní 3D zobrazení propojující časovou, frekvenční, amplitudovou a fázovou osu.