atan2

Funkce Šablona:Math vrací úhel Šablona:Mvar svíraný polohovým vektorem (průvodičem) bodu Šablona:Math a kladnou poloosou osy x upravený do intervalu (-π, π⟩

Určení kvadrantu pro funkci atan2(y, x) argumentu y/x

atan2 (někde arctg2) je funkce dostupná v mnoha programovacích jazycích, numerických knihovnách a nástrojích pro výpočty, kterou lze použít místo funkce arkus tangens a která významně usnadňuje převod z pravoúhlých souřadnic na polární a podobné úlohy. Funkce je definovaná pro všechny reálné hodnoty dvou parametrů, a v případech, kdy je výraz na pravé straně definován, platí

$atan2(y,x)=\mathrm{arctg}\frac{y}{x}$

Účel

Funkce atan2 řeší dva problémy, ke kterým by došlo při použití výrazu $\mathrm{arctg}\frac{y}{x}$:

• Pokud je x nulové nebo velmi malé, při výpočtu y/x může dojít k chybě dělení nulou nebo přetečení; hodnota funkce atan2 je však $+\frac{\pi }{2}$ nebo $-\frac{\pi }{2}$.
• Při převodu na polární souřadnice potřebujeme úhel v rozsahu celého kruhu, tj. $2\pi$ nebo 360°, zatímco funkce arctg vrací hodnoty v intervalu $(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$, neboli (-90°, 90°) – informace o znaménkách obou souřadnic se při použití jednoho parametru ztratí; proto je nutné po použití funkce arctg určovat správnou polorovinu případně kvadrant.

Definice

$\mathrm{atan2}(y,x)$ je funkce $ℝ\times ℝ\to ⟨0;2\pi )$ definovaná přepisem:

$\mathrm{atan2}(y,x)=\{\begin{array}{cc}\mathrm{arctg}\left(\frac{y}{x}\right),& \text{je-li }(x>0)\wedge (y>=0),\\ \mathrm{arctg}\left(\frac{y}{x}\right)+\pi ,& \text{je-li }(x<0),\\ \mathrm{arctg}\left(\frac{y}{x}\right)+2\pi ,& \text{je-li }(x>0)\wedge (y<0),\\ \frac{\pi }{2},& \text{je-li }(x=0)\wedge (y>0),\\ \frac{3}{2}\pi ,& \text{je-li }(x=0)\wedge (y<0),\end{array}$

kde arctg(x) je arkus tangens.

Striktně matematicky není hodnota $\mathrm{atan2}(0,0)$ definována (nulový vektor nemá definovanou orientaci); pro programování může být libovolná; obvykle se používá 0.

Jiná definice pomocí distribucí, konkrétně Heavisideovy skokové funkce $\theta (x)$:

$\mathrm{atan2}(y,x)=\mathrm{arctg}\left(\frac{y}{x}\right)+\pi \theta (-x)+2\pi \theta (x)\theta (-y).$

V programovacích jazycích je funkce atan2 definována tak, že vrací hodnoty v intervalu $(-\pi ;\pi ⟩$.

Užití

Pomocí takto definované funkce můžeme snadno zapsat např. přechod od kartézských souřadnic k polárním; bod o kartézských souřadnicích $(x,y)$ lze vyjádřit pomocí polárních souřadnic $(r,\theta )$ takto:

$x=r\cos \phi$

$y=r\sin \phi$

odtud

$r=\sqrt{x^2+y^2}$

$\phi =\mathrm{atan2}(y,x).$

Funkci atan2(y,x) lze použít také pro přechod mezi kartézskou soustavou souřadnic a sférickou soustavou souřadnic, resp. válcovou soustavou souřadnic.

Obdobně, atan2(y,x) nám dává argument komplexního čísla x + iy.

Praktická poznámka

V programovacích jazycích (C, PHP, Java, JavaScript, ...) se vždy píše jako první parametr souřadnice y a jako druhý souřadnice x tj. tvar atan2(y, x).

Ale v tabulkových kalkulátorech (Microsoft Excel, LibreOffice Calc, apod.) bývá použit obrácený tvar tj. atan2(x, y)!

Odkazy

Související články

• Arkus tangens
• Ortogonální souřadnice
• Kartézská soustava souřadnic
• Polární soustava souřadnic
• Sférická soustava souřadnic
• Cyklometrická funkce

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat