Doprovodná matice

Doprovodná matice je termín z lineární algebry. Pro daný monický polynom $p(x)=c_0+c_{1}x+\cdots +c_{n-1}{x}^{n-1}+x^n$ se tak nazývá čtvercová matice ve tvaru:

${𝑫}_p=\left(\begin{array}{ccccc}0& 0& \dots & 0& -c_0\\ 1& 0& \dots & 0& -c_1\\ 0& 1& \dots & 0& -c_2\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& \dots & 1& -c_{n-1}\end{array}\right).$

Někteří autoři používají transpozici této matice, ${𝑫}_p^{\mathrm{T}}$, což je vhodnější např. pro lineární rekurence (viz níže).

Matice ${𝑫}_p$ je odvozena z koeficientů polynomu $p(x)$, zatímco charakteristický polynom stejně jako minimální polynom matice ${𝑫}_p$ jsou rovny $p(x)$.

Podobnost

K libovolné matici $𝑨$ s prvky z tělesa $T$ lze určit její charakteristický polynom $p(x)=\det (x𝐈-𝑨)$a jemu přísluší doprovodná matice ${𝑫}_p$. Platí, že matice $𝑨$ je podobná ${𝑫}_p$, právě když se minimální polynom matice $𝑨$ shoduje s jejím charakteristickým polynomem $p(x)$, čili když minimální polynom má stupeň $n$.

Ne každá čtvercová matice je podobná doprovodné matici, ale každá čtvercová matice je podobná blokové diagonální matici vytvořené z doprovodných matic. Pokud je požadováno, aby charakteristický polynom každého diagonálního bloku dělil charakteristický polynom následujícího bloku, jsou tyto bloky jednoznačně určeny maticí $𝑨$.

Diagonalizovatelnost

Kořeny charakteristického polynomu $p(x)$ jsou vlastní čísla matice ${𝑫}_p$. Má-li matice ${𝑫}_p$ celkem $n$ různých vlastních čísel ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$, pak je matice ${𝑫}_p$ diagonalizovatelná. Zároveň platí ${𝑫}_p={𝑽}^{-1}\mathrm{\Lambda }𝑽$, kde $\mathrm{\Lambda }$ je diagonální matice a $𝑽$ je Vandermondova matice, obě odpovídající vlastním číslům ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$:

$\mathrm{\Lambda }=\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& 0& \cdots & 0\\ 0& {\lambda }_2& \ddots & ⋮\\ ⋮& \ddots & \ddots & 0\\ 0& \cdots & 0& {\lambda }_n\end{array}\right)$, $𝑽=\left(\begin{array}{ccccc}1& {\lambda }_1& {\lambda }_1^2& \cdots & {\lambda }_1^{n-1}\\ 1& {\lambda }_2& {\lambda }_2^2& \cdots & {\lambda }_2^{n-1}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 1& {\lambda }_n& {\lambda }_n^2& \cdots & {\lambda }_n^{n-1}\end{array}\right)$.

Pro každé ${\lambda }_i$ je vektor ${𝒗}_i=(1,{\lambda }_i,\dots ,{\lambda }_i^{n-1}{)}^{\mathrm{T}}$vlastním vektorem matice ${𝑫}_p^{\mathrm{T}}$, protože přímočarým výpočtem lze ověřit, že první rovnost soustavy ${𝑫}_p^{\mathrm{T}}{𝒗}_i={\lambda }_i{𝒗}_i$ odpovídá ověření, že ${\lambda }_i$ je kořenem charakteristického polynomu:$p({\lambda }_i)=c_0+c_1{\lambda }_i+\cdots +c_{n-1}{\lambda }_i^{n-1}+{\lambda }_i^n=0$; a ostatní rovnosti soustavy jsou identity typu ${\lambda }_i^k={\lambda }_i^k$. Matici ${𝑫}_p^{\mathrm{T}}$ lze proto diagonalizovat pomocí matice přechodu ${𝑽}^{\mathrm{T}}=({𝒗}_1,\dots ,{𝒗}_n)$, neboli ${𝑫}_p^{\mathrm{T}}={𝑽}^{\mathrm{T}}\mathrm{\Lambda }({𝑽}^{\mathrm{T}}{)}^{-1}$, a transpozice obou stran vede na vztah ${𝑫}_p={𝑽}^{-1}\mathrm{\Lambda }𝑽$.

Vlastní vektory matice ${𝑫}_p$ splňující ${𝑫}_p{𝒘}_i={\lambda }_i{𝒘}_i$ lze odvodit přímo z rovnice ${𝑫}_p={𝑽}^{-1}\mathrm{\Lambda }𝑽$ : jsou to sloupce matice inverzní k Vandermondově matici ${𝑽}^{-1}=({𝒘}_1,\dots ,{𝒘}_n)$. Uvedené vlastní vektory lze popsat přímo, protože jsou složeny z koeficientů Lagrangeových polynomů, neboli ${𝒘}_i=(L_{0i},\dots ,L_{(n-1)i}{)}^{\mathrm{T}}$, kde:$L_i(x)=L_{0i}+L_{1i}x+\cdots +L_{(n-1)i}{x}^{n-1}=\prod _{j\ne i}\frac{x-{\lambda }_j}{{\lambda }_j-{\lambda }_i}=\frac{p(x)}{(x-{\lambda }_i)p^{\prime }({\lambda }_i)}.$ Uvedené vlastní vektory vlastní vektory lze naškálovat na ${\widetilde{𝒘}}_i=p^{\prime }({\lambda }_i){𝒘}_i$ a získat vektory s ještě jednodušším vyjádřením.

Pokud má charakteristický polynom $p(x)$ násobné kořeny, potom matice ${𝑫}_p$ není diagonalizovatelná. Přesněji řečeno, Jordanův normální tvar matice ${𝑫}_p$ obsahuje pro každý kořen $\lambda$ násobnosti $m$ jeden diagonální blok řádu $m$.

Použití

Rekurentní posloupnosti

Lineární rekurentní posloupnost daná vztahem $a_{k+n}=-c_0{a}_k-c_1{a}_{k+1}\cdots -c_{n-1}{a}_{k+n-1}$ pro $k\ge 0$ má charakteristický polynom $p(x)=c_0+c_{1}x+\cdots +c_{n-1}{x}^{n-1}+x^n$. Transpozice doprovodné matice ${𝑫}_p^{\mathrm{T}}$ určuje posloupnost vektorů:

$\left(\begin{array}{c}{a}_{k+1}\\ a_{k+2}\\ ⋮\\ a_{k+n-1}\\ a_{k+n}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 1\\ -c_0& -c_1& -c_2& \cdots & -c_{n-1}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{a}_k\\ a_{k+1}\\ ⋮\\ a_{k+n-2}\\ a_{k+n-1}\end{array}\right)$.

Mezi vlastní vektory této matice patří i $(1,\lambda ,{\lambda }^2,\dots ,{\lambda }^{n-1}{)}^{\mathrm{T}}$, kde $\lambda$ je její libovolné vlastní číslo, neboli kořen charakteristického polynomu $p(x)$. Geometrická posloupnost $a_k={\lambda }^k$ je jednou z možných posloupností, jež vyhovuje rekurentnímu předpisu.

Má-li matice ${𝑫}_p$ celkem $n$ různých vlastních čísel ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$, potom lze $k$-tý prvek posloupnosti zapsat jako lineární kombinaci $a_k={\alpha }_1{\lambda }_1^k+\cdots +{\alpha }_n{\lambda }_n^k$, přičemž koeficienty ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n$ závisí na prvních $n$ předepsaných prvcích dané posloupnosti $a_0,a_1,\dots ,a_{n-1}$. Vlastní čísla největší absolutní hodnoty pak poskytují asymptotický odhad.

Odkazy

Literatura

• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie