Arkus kotangens

Grafy funkcí arkus tangens a arkus kotangens

Arkus kotangens je jedna z cyklometrických funkcí, inverzní funkce k funkci kotangens. Obvykle se značí arccotg x, ale používají se i značky arccot x a cot⁻¹ x. Její hodnotou je úhel v obloukové míře z intervalu (0; Šablona:Math), popřípadě ve stupňové míře z intervalu (0°; 180°), jehož kotangens je x.

Na rozdíl od cyklometrických funkcí arcsin, arccos a arctg nebývá na kalkulačkách k dispozici, ale s využitím funkce arctg ji lze vypočítat podle některého ze vzorců.

Definice

Funkce arccotg x je inverzní funkce k funkci cotg x, jejíž definiční obor byl omezen na interval (0; Šablona:Math). Díky tomuto omezení je výchozí funkce prostá, takže požadovaná inverzní funkce existuje.

V některých matematických programech, jakým je například Mathematica, se však využívá jiné definice arccotg x, kdy byl definiční obor cotg x omezen na interval (Šablona:Math;Šablona:Math) \ {0}. Při této definici je výsledná inverzní funkce lichá.

Vlastnosti

Funkce $y=\text{arccotg }x$ v obloukové míře má následující vlastnosti:

Definiční obor	$ℝ$
Obor hodnot	$(0;\pi )$
Omezenost	Je omezená
Monotonie	Je ryze klesající, a tedy prostá
Symetrie	Není sudá ani lichá, ale graf je souměrný podle středu $(x,y)=(0,\frac{\pi }{2})$
Periodicita	Není periodická
Limity	$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\text{arccotg }x=\pi$ $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\text{arccotg }x=0$
Inverzní funkce	$x=\text{cotg }y$   (kotangens)
Derivace	$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\text{arccotg }x=\frac{-1}{1+x^2}$
Integrál	$\int \text{arccotg }x\mathrm{d}x=x\text{arccotg }x+\frac{1}{2}\ln (1+x^2)+C$

Vzorce

$\text{arccotg }x=\frac{\pi }{2}-\text{arctg }x$

$\text{arccotg }(-x)=\pi -\text{arccotg }x$

$\text{arccotg }\frac{1}{x}=\{\begin{array}{cc}\frac{\pi }{2}-\text{arccotg }x=\text{arctg }x& \text{pokud }x>0\\ \frac{3}{2}\pi -\text{arccotg }x=\pi +\text{arctg }x& \text{pokud }x<0\end{array}$

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat