Arkus sinus

Grafy funkcí arkus sinus a arkus kosinus

Arkus sinus je jedna z cyklometrických funkcí, inverzní funkce k funkci sinus. Obvykle se značí $\arcsin x$, v anglické literatuře se taktéž používá $\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}x$ či ${\sin }^{-1}x$. Její hodnotou je úhel v obloukové míře (radiány) z intervalu $⟨-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}⟩$, jehož sinus je $x$.

Definice

Funkce $y=\arcsin x$ je inverzní k funkci $x=\sin y(-\frac{\pi }{2}\le y\le \frac{\pi }{2})$; je definována pro $x\in ⟨-1,1⟩$.

Vlastnosti

Značení:	$y=\arcsin x$ $(\text{resp.}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}x,{\sin }^{-1}x)$
Definiční obor	$⟨-1,1⟩$
Obor hodnot	$⟨-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}⟩$
Omezenost	Je omezená
Monotonie	Je ryze rostoucí $⟹$ je prostá
Symetrie	Je lichá, není sudá
Periodicita	Není periodická
Limity	$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\arcsin x}{x}=1$ tj. v okolí nuly je $\text{arcsin }x\approx x$
Inverzní funkce	$x=\sin y$   (sinus)
Derivace	$(\arcsin x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
Integrál	$\int \arcsin x\mathrm{d}x=x\arcsin x+\sqrt{1-x^2}+C$
Taylorova řada	$\arcsin x=x+\frac{1}{6}{x}^3+\frac{3}{40}{x}^5+\frac{5}{112}{x}^7+\dots |x|<1$
Významné hodnoty	$\begin{array}{cccccccccc}x& -1& -\frac{\sqrt{3}}{2}& -\frac{\sqrt{2}}{2}& -\frac{1}{2}& 0& \frac{1}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}& 1\\ \arcsin x& -\frac{\pi }{2}& -\frac{\pi }{3}& -\frac{\pi }{4}& -\frac{\pi }{6}& 0& \frac{\pi }{6}& \frac{\pi }{4}& \frac{\pi }{3}& \frac{\pi }{2}\end{array}$

Vzorce

$\begin{array}{ccc}\arcsin x+\arccos x& =& \frac{\pi }{2}\\ \arcsin x+\arcsin (-x)& =& 0\\ \arcsin x+\arcsin y& =& \{\begin{array}{cc}\arcsin (x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}),& xy\le 0\text{nebo}{x}^2+y^2\le 1\\ \pi -\arcsin (x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}),& x>0,y>0,x^2+y^2>1\\ -\pi -\arcsin (x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}),& x<0,y<0,x^2+y^2>1\end{array}\\ \arcsin x-\arcsin y& =& \{\begin{array}{cc}\arcsin (x\sqrt{1-y^2}-y\sqrt{1-x^2}),& xy\ge 0\text{nebo}{x}^2+y^2\le 1\\ \pi -\arcsin (x\sqrt{1-y^2}-y\sqrt{1-x^2}),& x>0,y<0,x^2+y^2>1\\ -\pi -\arcsin (x\sqrt{1-y^2}-y\sqrt{1-x^2}),& x<0,y>0,x^2+y^2>1\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{cccc}\arcsin (\sin x)& =& x,& -\frac{\pi }{2}\le x\le \frac{\pi }{2}\\ \sin (\arcsin x)& =& x\end{array}$

$\arcsin x=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{1-t^2}},0<x<1$

$\arcsin x=\frac{x\sqrt{1-x^2}}{1-\frac{1\cdot 2\cdot x^2}{3-\frac{1\cdot 2\cdot x^2}{5-\frac{3\cdot 4\cdot x^2}{7-\frac{3\cdot 4\cdot x^2}{9-\frac{5\cdot 6\cdot x^2}{11-\dots }}}}}},|x|<1$

Příklad použití

Mějme goniometrickou rovnici:

$\begin{array}{ccc}2\sin x& =& \sqrt{3}\\ \sin x& =& \frac{\sqrt{3}}{2}\\ x& =& \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}\\ x& =& \frac{\pi }{3}\end{array}$

S ohledem na periodicitu funkce $\sin x$ jsou řešením původní rovnice také hodnoty:

$\begin{array}{ccccccccc}\dots ,& \frac{-11\pi }{3},& \frac{-5\pi }{3},& \frac{\mathit{\pi }}{3},& \frac{7\pi }{3},& \frac{13\pi }{3},& \dots & \text{tj.}{x}_k=& \frac{\pi }{3}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}\\ \dots ,& \frac{-10\pi }{3},& \frac{-4\pi }{3},& \frac{2\pi }{3},& \frac{8\pi }{3},& \frac{14\pi }{3},& \dots & \text{tj.}{x}_k=& \frac{2\pi }{3}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}\end{array}$

Graf

• Vznikne překlopením grafu funkce $y=\sin (x)$ podle osy I. a III. kvadrantu.
• Bereme pouze interval kolem počátku, na kterém je funkce $\sin (x)$ prostá, tedy v tomto případě rostoucí.
• Interval $⟨-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}⟩$ z definičního oboru sinu se stane oborem hodnot funkce $x=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(y)$.
• Obdobně obor hodnot sinu se naopak stane definičním oborem arkus sinu.

Graf funkce arkus sinus.

Odkazy

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat
• BARTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. 3., rev. vyd. Přeložil Zdeněk TICHÝ. Praha: Mladá fronta, 1996. Šablona:ISBN.