Prostá funkce

Prostá funkce je v matematice funkce, která žádnou funkční hodnotu nenabývá vícekrát. Je to důležitá vlastnost spojená s řešením rovnic, protože nás informuje o tom, že rovnice mající na jedné straně prostou funkci a na druhé straně funkční hodnotu nemá více než jedno řešení. Tuto informaci je důležité mít například před použitím numerických metod řešení rovnic.

Definice

Funkci $f$ na definičním oboru $D$ označujeme jako prostou na $D$, pokud pro každé dvě hodnoty $x_1\ne x_2$ z $D$ platí $f(x_1)\ne f(x_2)$, tedy pro libovolnou dvojici různých $x$ jsou různé i hodnoty funkce $f(x)$.

Příklad

Příkladem prosté funkce je např. libovolná lineární funkce s nenulovým koeficientem $f(x)=ax+b,a\ne 0$ – vynásobení stejným nenulovým číslem a přičtení stejného čísla ke dvěma různým číslům nemůže nikdy vést ke stejnému výsledku. Naopak příkladem neprosté funkce je druhá mocnina $f(x)=x^2$, neboť např. $f(-2)=f(2)=4$.

Vlastnosti

Pokud je funkce $f$ na $D$ ostře monotonní (tedy její hodnoty neustále rostou nebo neustále klesají), pak je na $D$ také prostá, neboť se v žádném jiném bodu nemůže vrátit do stejného výsledku. Opačné tvrzení (tedy že pokud je funkce prostá, pak je i ostře monotonní) platí pouze pro spojité funkce, u nichž nemůže dojít ke "skokovým" změnám funkčních hodnot; pro tyto funkce jsou tak tvrzení o prostosti a ostré monotonicitě ekvivalentní.

Mezi funkcemi nespojitými však existují případy prostých funkcí, které ostře monotonní nejsou. Např. prostá funkce $1\to 3,2\to 4,3\to 2,4\to 1$ je na množině $\{1,2\}$ rostoucí, zatímco na množině $\{3,4\}$ klesající, a na svém celém definičním oboru tedy není monotonní.

Souvislost s inverzní funkcí

K prosté funkci existuje funkce inverzní – např. k funkci exponenciální je inverzní funkcí logaritmus. Funkcím, které nejsou prosté, nelze inverzní funkci přiřadit; pokud jsou však prosté na určité podmnožině svého definičního oboru, lze je invertovat na této podmnožině – takto je např. druhá odmocnina inverzní funkcí k druhé mocnině na intervalu $x\ge 0$, protože druhá mocnina je na tomto intervalu prostá.

Související články

• Prosté zobrazení
• Monotónní funkce
• Inverzní funkce