Diagonalizovatelná matice

V lineární algebře se čtvercové matici $A$ říká diagonizovatelná, pokud je podobná diagonální matici $D$, tzn. pokud existuje taková regulární matice $R$, pro kterou by platilo $A=RD{R}^{-1}$. Úzce souvisejícím pojmem je diagonalizovatelné lineární zobrazení: tak se označuje endomorfismus $T:V\to V$ nad vektorovým prostorem $V$, pokud existuje báze $V$ (zvaná diagonální báze), vzhledem ke které je $T$ reprezentováno diagonální maticí. Diagonalizace je proces hledání odpovídající diagonální matice a diagonální báze pro čtvercovou matici, resp. endomorfismus.

Čtvercová matice, resp. endomorfismus, které nejsou diagonalizovatelné, se označují jako defektní.

Diagonizovatelné matice a zobrazení jsou předmětem zájmu, protože s diagonálními maticemi se velmi snadno pracuje: jejich vlastní čísla a vlastní vektory jsou zřejmé a umocňování diagonální matice je také snadné, protože stačí umocnit jednotlivé prvky na diagonále matice. V případě, že matice není diagonalizovatelná, tyto vlastnosti do jisté míry supluje tzv. Jordanův tvar, který mají všechny matice.

Pojmy diagonalizovatelnost a diagonalizace se užívají i v kontextu bilineárních a seskvilineárních forem, jejich matice ovšem nejsou v různých bázích podobné ($A=RD{R}^{-1}$), ale kongruentní ($A=R^{T}DR$). Bázi, ve které je bilineární forma diagonální, se říká polární báze a kvůli zmíněným rozdílům v transformaci forem a zobrazení je obecně jiná než diagonální báze zobrazení. Důležitou výjimku ovšem tvoří případy, kdy je $R$ ortogonální a platí $R^T=R^{-1}⟹R^{-1}AR=R^{T}AR$. Tímto případem se podrobně zabývá ortogonální diagonalizace.

Podmínka diagonalizovatelnosti

Otázka, zda je matice diagonalizovatelná, úzce souvisí s pojmy algebraická a geometrická násobnost vlastního čísla.

Vlastní číslo matice je takové $\lambda$, které pro nějaký vektor $v$ splňuje $Av=\lambda v$. Tato podmínka se dá snadno přepsat jako $(A-\lambda E)v=0$.

Máme-li matici $A$ a její vlastní číslo $\lambda$, hodnota $\dim \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(A-\lambda E)$ se nazývá geometrickou násobností vlastního čísla $\lambda$.

Polynom $p_A(\lambda )=\det (A-\lambda E)$ se nazývá charakteristický polynom matice $A$ a jeho kořeny jsou vlastními čísly $A$. Termínem algebraická násobnost se označuje násobnost $\lambda$ jako kořene tohoto polynomu.

Věta: Nechť $A$ je čtvercová matice a ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_k$ její vlastní čísla. $A$ je diagonalizovatelná právě tehdy, je-li algebraická násobnost každého ${\lambda }_i$ rovna jeho geometrické násobnosti.

Algoritmus pro nalezení diagonálního tvaru

Hledání diagonálního tvaru $D$ a matice přechodu $R$ lze shrnout do několika kroků:

1. Vyjáříme si charakteristický polynom $\det (A-\lambda E)$, najdeme jeho kořeny ${\lambda }_1,...,{\lambda }_k$ a poznamenáme si jejich násobnost.
2. Matice $D$ bude mít tvar $D=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}({\lambda }_1,...,{\lambda }_1,{\lambda }_2,...,{\lambda }_k)$, každé ${\lambda }_i$ bude na diagonále tolikrát, jaká je jeho násobnost.
3. Pro každé ${\lambda }_i$ najdeme jádro matice $(A-\lambda E)$. Následně nalezneme bázi tohoto jádra $(v_{i,1},...,v_{i,m})$, $m$ je násobnost ${\lambda }_i$.
4. Sloupce matice $R$ budou tvořeny vektory $(v_{1,1}|v_{1,2}|...|v_{1,m}|v_{2,1}|...|v_{k,n})$.
5. Nalezneme inverzní matici $R^{-1}$.
6. Platí $A=RD{R}^{-1}$, $D=R^{-1}AR$.

Příklad

Uvažujme matici:

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 0& 3& 0\\ 2& -4& 2\end{array}\right).$

Charakteristický polynom matice je:

$\det (A-\lambda E)=\det \left(\begin{array}{ccc}1-\lambda & 2& 0\\ 0& 3-\lambda & 0\\ 2& -4& 2-\lambda \end{array}\right)=(1-\lambda )(2-\lambda )(3-\lambda ).$

Matice má tedy 3 vlastní čísla s násobností 1:

${\lambda }_1=3,{\lambda }_2=2,{\lambda }_3=1.$

Diagonální tvar matice je tedy, na pořadí vlastních čísel nezáleží:

$D=\left(\begin{array}{ccc}3& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right).$

Nyní nalezneme ke každému ${\lambda }_i$ vlastní vektory. Jsou to:

$v_1=\left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 2\end{array}\right)\in \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(A-3E),$

$v_2=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)\in \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(A-2E),$

$v_3=\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 2\end{array}\right)\in \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(A-E).$

Jednoduchou kontrolou je: $A{v}_k={\lambda }_k{v}_k$

Matici $R$ získáme tak, že vlastní vektory zapíšeme do sloupců. Zde již na pořadí záleží, musí být stejné jako pořadí odpovídajících vlastních čísel v $D$.

$R=\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& -1\\ -1& 0& 0\\ 2& 1& 2\end{array}\right).$

Nakonec k $R$ najdeme inverzi:

$R^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ 2& 0& 1\\ -1& 1& 0\end{array}\right)$

Přímým výpočtem lze ověřit, že $R^{-1}AR=D$:

$R^{-1}AR=\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ 2& 0& 1\\ -1& 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 0& 3& 0\\ 2& -4& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& -1\\ -1& 0& 0\\ 2& 1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}3& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right).$

Současná diagonalizovatelnost

Matice $A,B$ se označují jako současně diagonalizovatelné, pokud existuje takové $R$, že jak $R^{-1}AR$, tak $R^{-1}BR$ jsou diagonální. Obdobně endomorfismy $S,T$ jsou současně diagonalizovatelné, pokud existuje taková báze, ve které jsou oba diagonální.

Věta: Nechť $V$ je vektorový prostor a $M$ množina diagonalizovatelných endomorfismů na $V$. Pak je $M$ současně diagonalizovatelná, právě když každé dva endomorfismy v ní komutují.