Hamiltonovská formulace mechaniky

Hamiltonovská formulace mechaniky (někdy též hamiltonovská mechanika) představuje jiný přístup k popisu mechaniky než jaký využívají Newtonovy pohybové rovnice. Newtonovy pohybové rovnice sice umožňují úplně popsat mechanický pohyb, z matematického hlediska se však ukazuje, že lze zvolit jiný přístup k popisu tohoto pohybu, který bývá v mnoha případech výhodnější. Hamiltonovská formulace mechaniky je obecnější než lagrangeovská formulace, z níž původně vycházela.

Hamiltonovská formulace mechaniky je považována za součást teoretické mechaniky a objevil ji v roce 1833 William Rowan Hamilton. Hamiltonovská formulace mechaniky našla uplatnění nejen ve statistické fyzice, ale především při přechodu ke kvantové mechanice.

V této formulaci mechaniky se k popisu systému používají zobecněné souřadnice a zobecněné hybnosti, přičemž zobecněné souřadnice a jim odpovídající zobecněné hybnosti jsou považovány za rovnoprávné proměnné ve fázovém prostoru.

Hamiltonovská formulace umožňuje pomocí vhodných transformací přecházet mezi souřadnicemi a hybnostmi a různě je zaměňovat. Takové transformace se označují jako kanonické a je při nich požadováno, aby si Hamiltonovy rovnice zachovávaly svůj tvar. Invariantem kanonických transformací je tzv. Poissonova závorka.

Hamiltonovy rovnice

Diferenciací Hamiltonovy funkce dostaneme

$\mathrm{d}H=\sum _i(\frac{\partial H}{\partial q_i}\mathrm{d}{q}_i+\frac{\partial H}{\partial p_j}\mathrm{d}{p}_j)+\frac{\partial H}{\partial t}\mathrm{d}t=$

$=\sum _i({\dot{q}}_i\mathrm{d}{p}_i+p_i\mathrm{d}{\dot{q}}_i-\frac{\partial L}{\partial q_i}\mathrm{d}{q}_i-\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}\mathrm{d}{\dot{q}}_i)-\frac{\partial L}{\partial t}\mathrm{d}t=\sum _i({\dot{q}}_i\mathrm{d}{p}_i-{\dot{p}}_i\mathrm{d}{q}_i)-\frac{\partial L}{\partial t}\mathrm{d}t$,

kde $L$ je Lagrangeova funkce, $q_i$ jsou zobecněné souřadnice a $p_i$ jsou zobecněné hybnosti. Srovnáním jednotlivých koeficientů v tomto vztahu dostaneme výrazy

${\left(\frac{\partial H}{\partial t}\right)}_{p,q}=-{\left(\frac{\partial L}{\partial t}\right)}_{q,\dot{q}}$

${\dot{q}}_i=\frac{\partial H}{\partial p_i}$

${\dot{p}}_i=-\frac{\partial H}{\partial q_i}$

Tyto rovnice tvoří pro mechanický systém s $n$ stupni volnosti soustavu $2n$ diferenciálních rovnic prvního řádu pro $2n$ neznámých funkcí času $q_i(t),p_i(t),i=1,2,...,n$. Tyto rovnice jsou nižšího řádu než Lagrangeovy rovnice a jejich pravé strany nezávisí na derivacích hledaných funkcí. Tyto rovnice se nazývají Hamiltonovými (kanonickými) rovnicemi daného systému.

Příklad

Příkladem Hamiltonových rovnic jsou rovnice pro jednorozměrný pohyb volné částice (hmotného bodu).

Z lagrangiánu $L=\frac{1}{2}m{v}^2=\frac{1}{2}m{\dot{q}}^2$ vyplývá zobecněná hybnost $p=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}=\frac{1}{2}m\cdot 2\dot{q}=m\dot{q}=mv$, odtud $\dot{q}=\frac{p}{m}$.

Dosazením do definice hamiltoniánu:

$H=p\dot{q}-L=\frac{p^2}{m}-\frac{1}{2}m{\dot{q}}^2=\frac{p^2}{m}-\frac{1}{2}m\frac{p^2}{m^2}=\frac{1}{2}\frac{p^2}{m}=\frac{p^2}{2m}$.

Dosazením do Hamiltonových kanonických rovnic:

$\dot{q}=\frac{\partial H}{\partial p}=\frac{p}{m}$ a

$\dot{p}=-\frac{\partial H}{\partial q}=0$.

To znamená, že rychlost částice ($v$, neboli $\dot{q}$) zůstává konstantní (1. rovnice) a tedy částice se pohybuje rovnoměrně přímočaře.

Související články

• Teoretická mechanika
• Hamiltonova funkce
• Newtonova mechanika
• Lagrangeovská formulace mechaniky
• Hamiltonova–Jacobiho rovnice
• Akce (fyzika)

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat