Ortogonální funkce

V matematice o dvou funkcích $f(x)$ a $g(x)$ řekneme, že jsou ortogonální, pokud jsou splněny tyto podmínky

• $f(x)$ a $g(x)$ patří do nějakého prostoru funkcí, což je vektorový prostor s bilineární formou
• definičním oborem prostoru funkcí je nějaký interval
• $f\ne g$
• existuje bilineání forma definovaná jako integrál součinu funkcí na tomto intervalu:

  $⟨f,g⟩=\int \overline{f(x)}g(x)dx.$

• $⟨f,g⟩=0$

Ortogonální funkce mohou tvořit nekonečnou bázi prostoru funkcí s podobnými vlastnostmi jako má báze vektorů v konečněrozměrném prostoru. Výše uvedený integrál je konceptuálně ekvivalentem skalárního součinu vektorů; dva vektory jsou vzájemně nezávislé (ortogonální), pokud je jejich skalární součin nulový.

Předpokládejme, že $\{f_0,f_1,\dots \}$ je posloupnost ortogonálních funkcí s nenulovými L²-normami ${\Vert f_n\Vert }_2=\sqrt{⟨f_n,f_n⟩}={(\int f_n^{2}dx)}^{\frac{1}{2}}$. Pak posloupnost $\{f_n/{\Vert f_n\Vert }_2\}$ tvořená funkcemi s L²-normou jedna tvoří ortonormální posloupnost. Aby bylo možné definovat L²-normu, musí být integrál omezený, což vyžaduje, aby funkce byly integrovatelné na čtverci.

Trigonometrické funkce

Šablona:Podrobně Několik sad ortogonálních funkcí se používá jako báze pro aproximaci funkcí. Například sinové funkce Šablona:Nowrap a Šablona:Nowrap jsou ortogonální na intervalu $x\in (-\pi ,\pi ),$ pokud $m\ne n$ a n a m jsou kladná celá čísla. Pak

$2\sin \left(mx\right)\sin \left(nx\right)=\cos \left((m-n)x\right)-\cos \left((m+n)x\right),$

a integrál součinu dvou funkcí sinus bude mít nulovou hodnotu.Šablona:Sfn Složením těchto ortogonálních funkcí s kosinovými funkcemi vzniknou trigonometrické polynomy, které lze použít pro aproximaci libovolné funkce na daném intervalu pomocí Fourierovy řady.

Polynomy

Šablona:Podrobně Pokud vyjdeme od posloupnosti monomů $\{1,x,x^2,\dots \}$ na intervalu $⟨-1,1⟩$ a použijeme Gramovu–Schmidtovu ortogonalizaci, dostaneme posloupnost Legendrových polynomů. Jiným systémem ortogonálních polynomů jsou přidružené Legendrovy polynomy.

Při studiu ortogonálních polynomů hrají důležitou roli váhové funkce $w(x),$ které se vyskytují v bilineární formě:

$⟨f,g⟩=\int w(x)f(x)g(x)dx.$

Pro Laguerrovy polynomy na $(0,\mathrm{\infty })$ je váhová funkce $w(x)=e^{-x}$.

Fyzikové i teoretici v teorii pravděpodobnosti používají Hermitovy polynomy na intervalu $(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$ s váhovou funkcí $w(x)=e^{-x^2}$ nebo $w(x)=e^{-x^2/2}$.

Čebyševovy polynomy jsou definovány na intervalu $⟨-1,1⟩$ a používají váhové funkce $w(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ nebo $w(x)=\sqrt{1-x^2}$.

Zernikeovy polynomy jsou definovány na jednotkovém kruhu a mají ortogonální jak radiální tak angulární složky.

Binární-hodnocený funkce

Walshovy funkce a Haarovy vlnky jsou příkladem ortogonálních funkcí s diskrétním oborem hodnot.

Racionální funkce

Graf Čebyševových racionálních funkcí řádu n=0,1,2,3 a 4 mezi x=0.01 a 100.

Legendrovy a Čebyševovy polynomy jsou posloupnosti ortogonálních funkcí na intervalu $⟨-1,1⟩.$ Někdy jsou potřeba posloupnosti ortogonálních funkcí na intervalu $⟨0,\mathrm{\infty })$. V tomto případě je pohodlné transformovat argument do intervalu $⟨-1,1⟩$ použitím Cayleyovy transformace. Tento postup vede k rodině racionálních ortogonálních funkcí, které se nazývají Legendrovy racionální funkce a Čebyševovy racionální funkce.

V diferenciálních rovnicích

Řešení lineární diferenciální rovnice s okrajovými podmínkami lze často zapsat jako vážený součet ortogonálních funkcí, které jsou řešením této rovnice (nazývaných také vlastní funkce), což vede k zobecněným Fourierovým řadám.

Odkazy

Literatura

• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace periodika
• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie

Související články

• Vlastní vektory a vlastní čísla
• Hilbertův prostor
• Karhunenova–Loèvova věta
• Lauricellova věta
• Wannierovy funkce

Externí odkazy

• Ortogonal Functions na MathWorld.