Trigonometrický polynom

Trigonometrický polynom je v matematice konečná lineární kombinace funkcí sin(nx) a cos(nx) pro přirozená n. Při omezení se na reálné funkce lze pracovat s reálnými koeficienty; v případě komplexních koeficientů není žádný rozdíl mezi takovou funkcí a konečnou Fourierovou řadou.

Trigonometrické polynomy se často používají v numerické matematice a matematické analýze, například při interpolaci periodických funkcí pomocí trigonometrické interpolace. Používají se také pro diskrétní Fourierovu transformaci.

V oboru reálných čísel lze termín trigonometrický polynom považovat za použití analogie: funkce sin(nx) a cos(nx) jsou obdobou jednočlenné báze polynomů. V komplexním případě se za trigonometrické polynomy označují výrazy s kladnými i zápornými mocninami e^ix.

Formální definice

Libovolnou funkci T tvaru

$T(x)=a_0+\sum _{n=1}^N{a}_n\cos (nx)+\sum _{n=1}^N{b}_n\sin (nx)(x\in ℝ)$

s $a_n,b_n\in ℂ$ pro $0\le n\le N$, nazveme komplexním trigonometrickým polynomem stupně N.Šablona:Sfn Pomocí Eulerova vzorce lze takový polynom přepsat do tvaru

$T(x)=\sum _{n=-N}^N{c}_n{e}^{inx}(x\in ℝ).$

Obdobně výraz

$t(x)=a_0+\sum _{n=1}^N{a}_n\cos (nx)+\sum _{n=1}^N{b}_n\sin (nx)(x\in ℝ)$

pro $a_n,b_n\in ℝ,0\le n\le N$ a $a_N\ne 0$ nebo $b_N\ne 0$, nazýváme reálným trigonometrickým polynomem stupně N.Šablona:Sfn

Vlastnosti

Trigonometrický polynom lze považovat za periodickou funkci na reálné ose, s periodou rovnou celočíselnému násobku 2$\pi$ nebo za funkci na jednotkové kružnici.

Důležitou vlastností trigonometrických polynomů je, že jsou husté v prostoru spojitých funkcí na jednotkové kružnici, se supremovou normouŠablona:Sfn; jde o speciální případ Stoneovy–Weierstrassovy věty. Přesněji: pro každou spojitou funkci f a každé ε > 0, existuje trigonometrický polynom T takový, že pro všechna z |f(z) − T(z)| < ε. Fejérova věta říká, že aritmetické průměry částečných součtů Fourierovy řady funkce f konvergují rovnoměrně k f, za předpokladu, že f je spojitá na kružnici, což nám dává explicitní metodu pro nalezení aproximačního trigonometrického polynomu T.

Pokud trigonometrický polynom stupně N není nulová funkce, pak má v jakémkoli intervalu $⟨a,a+2\pi )$ reálných čísel nejvýše 2N kořenů.Šablona:Sfn

Odkazy

Literatura

• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie