Taylorova řada

Taylorův rozvoj stupně 1, 3, 5, 7, 9, 11 a 13 funkce sin(x). Sin(x) je vyznačen černě.

Taylorova řada je v matematice zvláštní mocninná řada.

Za určitých předpokladů o funkci f(x) v okolí bodu a lze tuto funkci vyjádřit (rozvinout) jako mocninnou řadu. Toto vyjádření funkce prostřednictvím Taylorovy řady se označuje jako Taylorův rozvoj. Pokud se jedná o rozvoj v okolí bodu 0, mluvíme o Maclaurinově řadě.

Pro přibližné vyjádření hodnot funkce není nutné vyjadřovat všechny členy Taylorovy řady, ale můžeme zanedbat členy s vyššími derivacemi. Získáme tím tzv. Taylorův polynom. Taylorův polynom tedy aproximuje hodnoty funkce, která má v daném bodě derivaci, pomocí polynomu, jehož koeficienty závisí na derivacích funkce v tomto bodě.

Řada je pojmenována po anglickém matematikovi Brooku Taylorovi, který ji publikoval v roce 1712, avšak metoda aproximace funkce mocninnou řadou byla objevena již roku 1671 Jamesem Gregorym.

Definice

V případě existence všech konečných derivací funkce $f$ v bodě $a$ lze Taylorovu řadu zapsat jako

$f(x)=f(a)+\frac{f^{\prime }(a)}{1!}(x-a)+\frac{f^{\prime \prime }(a)}{2!}(x-a{)}^2+\frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x-a{)}^3+\cdots =\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a{)}^k.$

Má-li funkce $f$ v bodě $a$ konečné derivace až do řádu $n$, pak Taylorův polynom řádu $n$ funkce $f$ v bodě $a$ je polynom:

$T_n^{f,a}(x)=f(a)+\frac{f^{\prime }(a)}{1!}(x-a)+\frac{f^{\prime \prime }(a)}{2!}(x-a{)}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a{)}^n=\sum _{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a{)}^k,$

kde nultou derivací je myšlena samotná funkce, tzn. $f^{(0)}=f$. Taylorův polynom je tedy speciálním případem Taylorovy řady, který získáme tehdy, jsou-li od určitého $n$ všechny vyšší derivace nulové.

Taylorova věta

Rozvoj funkce $f(x)$, která má v okolí bodu $a$ konečné derivace do $(n+1)$-tého řádu je obsahem Taylorovy věty, která říká, že takovéto funkce lze v okolí bodu $a$ vyjádřit jako

$f(x)=f(a)+\frac{f^{\prime }(a)}{1!}(x-a)+\frac{f^{\prime \prime }(a)}{2!}{(x-a)}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(a)}{n!}{(x-a)}^n+R_{n+1}^{f,a}(x).$

Nechť je funkce $\phi$ spojitá na okolí bodu $a$ a zároveň má na tomto okolí vlastní nenulovou derivaci. Potom existuje $c$ z tohoto okolí tak, že

$R_{n+1}^{f,a}(x)=\frac{1}{n!}\frac{\phi (x)-\phi (a)}{{\phi }^{\prime }(c)}{f}^{(n+1)}(c)(x-c{)}^n.$

Speciálně lze zbytek $R_{n+1}$ vyjádřit i některým z následujících tvarů (při zachování odpovídajících podmínek):

$R_{n+1}^{f,a}(x)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}{(x-a)}^{n+1}$	tzv. Lagrangeův tvar zbytku, tedy $\phi (t)=(x-t{)}^{n+1}$,
$R_{n+1}^{f,a}(x)=\frac{1}{n!}{f}^{(n+1)}(c)(x-c{)}^n(x-a)$	tzv. Cauchyův tvar zbytku, tedy $\phi (t)=t$.

Taylorova řada funkce $f(x)$ konverguje v bodě $x$ k funkční hodnotě $f(x)$ právě když

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{R}_n^{f,a}(x)=0.$

Taylorova řada funkce více proměnných

Pro funkci $f(x_1,\dots ,x_n)$ lze v okolí bodu $A=[a_1,\dots ,a_n]$ vyjádřit Taylorovu větu pomocí totálních diferenciálů jako

$f(x_1,\dots ,x_n)=f(a_1,\dots ,a_n)+\frac{\mathrm{d}f(a_1,\dots ,a_n)}{1!}+\frac{{\mathrm{d}}^{2}f(a_1,\dots ,a_n)}{2!}+\cdots +\frac{{\mathrm{d}}^{n}f(a_1,\dots ,a_n)}{n!}+R_{n+1}^{f,a},$

kde funkci $R_{n+1}^{f,a}$, která udává chybu, které se dopouštíme při ukončení rozvoje n-tým členem, lze vyjádřit ve tvaru

$R_{n+1}^{f,a}=\frac{{\mathrm{d}}^{n+1}f(a_1+\mathrm{\Theta }(x_1-a_1),a_2+\mathrm{\Theta }(x_2-a_2),...,a_n+\mathrm{\Theta }(x_n-a_n))}{(n+1)!}$

pro $\mathrm{\Theta }\in (0,1)$.

Maclaurinova řada

Pro $a=0$ přechází Taylorova řada v řadu Maclaurinovu, tedy

$f(x)=f(0)+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n$

Maclaurinovy řady běžných funkcí

• Maclaurinova řada polynomu je tentýž polynom.

• ${\mathrm{e}}^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots =\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^k}{k!}\text{ pro }x\in (-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$

• $a^x=1+\frac{x\ln a}{1!}+\frac{x^2{\ln }^{2}a}{2!}+\frac{x^3{\ln }^{3}a}{3!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{(x\ln a)}^n}{n!}\text{ pro }a>0,x\in (-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$

• $\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^n\text{ pro }x\in (-1,1)$

• ${(1+x)}^r=1+(\genfrac{}{}{0ex}{}{r}{1})x+(\genfrac{}{}{0ex}{}{r}{2})x^2+(\genfrac{}{}{0ex}{}{r}{3})x^3+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{r}{n})x^n\text{ pro }r\in ℝ,x\in (-1,1),$

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{r}{n})=\prod _{k=1}^n\frac{r-k+1}{k}=\frac{r\cdot (r-1)\cdot \cdot \cdot (r-n+1)}{n!}$

• $\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}-\cdots =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{(-1)}^{n+1}\frac{x^n}{n}\text{ pro }x\in (-1,1⟩$

• $\ln \frac{1+x}{1-x}=2[x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^7}{7}+\cdots ]=2\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}x\in (-1,1)$

Goniometrické funkce

• $\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{(-1)}^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\text{ pro }x\in (-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$
• $\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{(-1)}^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}\text{ pro }x\in (-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$
• $\mathrm{tg}x=x+\frac{1}{3}{x}^3+\frac{2}{15}{x}^5+\frac{17}{315}{x}^7+\cdots \text{ pro }x\in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$
• $\mathrm{cotg}x=\frac{1}{x}-\frac{1}{3}x-\frac{1}{45}{x}^3-\frac{2}{945}{x}^5-\cdots \text{ pro }x\in (0,\pi )$

Cyklometrické funkce

• $\arcsin x=x+\frac{1}{2}\frac{x^3}{3}+\frac{1}{2}\frac{3}{4}\frac{x^5}{5}+\frac{1}{2}\frac{3}{4}\frac{5}{6}\frac{x^7}{7}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}\text{ pro }x\in ⟨-1,1⟩$

• $\arccos x=\frac{\pi }{2}-\arcsin x=\frac{\pi }{2}-\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}\text{ pro }x\in ⟨-1,1⟩$

• $\mathrm{arctg}x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{(-1)}^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}\text{ pro }x\in ⟨-1,1⟩$

Hyperbolické funkce

• $\sinh x=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\text{ pro }x\in (-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$

• $\cosh x=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2n}}{(2n)!}\text{ pro }x\in (-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$

• $\tanh x=x-\frac{1}{3}{x}^3+\frac{2}{15}{x}^5-\frac{17}{135}{x}^7+\cdot \cdot \cdot \text{ pro }x\in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$

Hyperbolometrické funkce

• $\mathrm{arcsinh}x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n(2n)!}{4^n(n!{)}^2(2n+1)}{x}^{2n+1}\text{ pro }x\in ⟨-1,1⟩$
• $\mathrm{arctanh}x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}\text{ pro }x\in (-1,1)$

Výpočet Taylorova polynomu

Pro výpočet Taylorova polynomu složitějších funkcí se používá několik metod. Dá se počítat přímo z definice, což ale vyžaduje výpočet derivací vyšších řádů, které mohou být složité. Častěji se používá substituce, násobení, dělení, sčítání nebo odčítání Taylorových polynomů známých funkcí.

První příklad

Chceme spočítat Taylorův polynom řádu 7 v bodě 0 funkce $f(x)=\ln (\cos (x))$. Nejprve si funkci přepíšeme jako $f(x)=\ln (1+(\cos (x)-1)).$

Taylorův polynom přirozeného logaritmu je $\ln (1+z)=z-\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{3}+O(z^4)$ a funkce kosinus $\cos (x)=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720}+O(x^8)$ (používáme notaci velké O, neboli Landauovu notaci).

Nyní využijeme substituce vnitřní funkce a vynecháme členy stupně vyššího než 7 díky použití notace velké O:

$\begin{array}{cc}f(x)& =\ln (1+(\cos x-1))=(\cos x-1)-\frac{1}{2}(\cos x-1{)}^2+\frac{1}{3}(\cos x-1{)}^3+O((\cos x-1{)}^4)\\ & =(-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720}+O(x^8))-\frac{1}{2}(-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+O(x^6){)}^2+\frac{1}{3}(-\frac{x^2}{2}+O(x^4){)}^3+O(x^8)\\ & =-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720}-\frac{x^4}{8}+\frac{x^6}{48}-\frac{x^6}{24}+O(x^8)=-\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{12}-\frac{x^6}{45}+O(x^8).\end{array}$

Na závěr si můžeme všimnout, že koeficienty u $x,x^3,x^5,x^7,\cdot \cdot \cdot$ jsou nulové, což odpovídá tomu, že kosinus je sudá funkce.

Druhý příklad

Chceme spočítat Taylorův polynom funkce $g(x)=\frac{e^x}{\cos x}$ v bodě 0.

Máme známé Taylorovy polynomy: $e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+O(x^4)$ a $\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+O(x^4)$. K řešení použijeme metodu neurčitých koeficientů.

Předpokládejme, že platí $\frac{e^x}{\cos x}=c_0+c_{1}x+c_2{x}^2+c_3{x}^3+c_4{x}^4+\cdot \cdot \cdot$ Vynásobíme obě strany rovnice jmenovatelem

$\begin{array}{cc}{e}^x& =(c_0+c_{1}x+c_2{x}^2+c_3{x}^3+c_4{x}^4)\cos x=(c_0+c_{1}x+c_2{x}^2+c_3{x}^3+c_4{x}^4)(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+O(x^4))\\ & =c_0-\frac{c_0}{2}{x}^2+\frac{c_0}{4!}{x}^4+c_{1}x-\frac{c_1}{2}{x}^3+\frac{c_1}{4!}{x}^5+c_2{x}^2-\frac{c_2}{2}{x}^4+\frac{c_2}{4!}{x}^6+c_3{x}^3-\frac{c_3}{2}{x}^5+\frac{c_3}{4!}{x}^7+O(x^4)\\ & =c_0+c_{1}x+(c_2-\frac{c_0}{2})x^2+(c_3-\frac{c_1}{2})x^3+(c_4-\frac{c_2}{2}+\frac{c_0}{4!})x^4+O(x^4)\end{array}$

Porovnáním s koeficienty Taylorova polynomu exponenciální funkce dostáváme řešení

$\frac{e^x}{\cos x}=1+x+x^2+\frac{2}{3}{x}^3+\frac{x^4}{2}+O(x^4)$

Odkazy

Související články

• Laurentova řada
• Řada
• Derivace

Literatura

• Rektorys Karel a kol.: Přehled užité matematiky I.. Prometheus, Praha, 2003, 7. vydání. Šablona:ISBN
• Tkadlec Josef: Diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné. Nakladatelství ČVUT, Praha 2004, 1. vydání. Šablona:ISBN
• Krbálek Milan: Matematická analýza III. Nakladatelství ČVUT, Praha 2008, 2. vydání.

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat
• Ukázka aproximace kosinu – graf
• Taylorův polynom – názorné vysvětlení