Hyperbolické funkce

Přímka vedená z počátku protíná hyperbolu $x^2-y^2=1$ v bodě $(\cosh a,\sinh a)$, kde $a$ je dvojnásobek plochy vymezené přímkou a osou $x$. Pro body hyperboly pod osou $x$ je plocha brána jako záporná.

Jako hyperbolické funkce se v matematice označuje skupina několika funkcí analogicky podobných k funkcím goniometrickým. Základními funkcemi jsou hyperbolický sinus (sinh) a kosinus (cosh), ze kterých je odvozen hyperbolický tangens (tanh), kotangens (coth), sekans (sech) a kosekans (csch). Inverzní funkce k funkcím hyperbolickým se označují jako hyperbolometrické funkce.

Stejně jako sinus a kosinus definují body jednotkové kružnice, hyperbolický sinus a kosinus definují body pravé větve rovnoosé hyperboly. Parametrem těchto funkcí je hyperbolický úhel.

Hyperbolické funkce se často objevují v řešení některých diferenciálních rovnic, nebo např. v rovnici křivky řetězovky.

Definice hyperbolických funkcí

sinh, cosh a tanh

csch, sech a coth

Hyperbolické funkce jsou definovány následovně:

• Hyperbolický sinus:

$\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}=\frac{e^{2x}-1}{2e^x}$

• Hyperbolický kosinus:

$\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}=\frac{e^{2x}+1}{2e^x}$

• Hyperbolický tangens:

$\tanh x=\frac{\sinh x}{\cosh x}=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}=\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}$

• Hyperbolický kotangens:

$\coth x=\frac{\cosh x}{\sinh x}=\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}=\frac{e^{2x}+1}{e^{2x}-1}$

• Hyperbolický sekans:

$\mathrm{sech}x={(\cosh x)}^{-1}=\frac{2}{e^x+e^{-x}}=\frac{2e^x}{e^{2x}+1}$

• Hyperbolický kosekans:

$\mathrm{csch}x={(\sinh x)}^{-1}=\frac{2}{e^x-e^{-x}}=\frac{2e^x}{e^{2x}-1}$

kde e je Eulerovo číslo.

Hyperbolické funkce mohou být také definovány pomocí imaginárního úhlu:

• Hyperbolický sinus:

$\sinh x=-\mathrm{i}\sin \mathrm{i}x$

• Hyperbolický kosinus:

$\cosh x=\cos \mathrm{i}x$

• Hyperbolický tangens:

$\tanh x=-\mathrm{i}\tan \mathrm{i}x$

• Hyperbolický kotangens:

$\coth x=\mathrm{i}\cot \mathrm{i}x$

• Hyperbolický sekans:

$\mathrm{sech}x=\sec \mathrm{i}x$

• Hyperbolický kosekans:

$\mathrm{csch}x=\mathrm{i}\csc \mathrm{i}x$

kde i je imaginární číslo definované jako i² = −1.

Tyto komplexní tvary jsou odvozeny z Eulerova vzorce.

Užitečné vztahy

Sudost

$\cosh (-x)=\cosh x$

$\mathrm{sech}(-x)=\mathrm{sech}x$

Lichost

$\sinh (-x)=-\sinh x$

$\tanh (-x)=-\tanh x$

$\coth (-x)=-\coth x$

$\mathrm{csch}(-x)=-\mathrm{csch}x$

Hyperbolický sinus a kosinus splňují podmínku:

${\cosh }^{2}x-{\sinh }^{2}x=1$

a podobně:

${\tanh }^{2}x=1-{\mathrm{sech}}^{2}x$

${\coth }^{2}x=1+{\mathrm{csch}}^{2}x$

Derivace

$\frac{d}{dx}\sinh x=\cosh x$

$\frac{d}{dx}\cosh x=\sinh x$

$\frac{d}{dx}\tanh x=1-{\tanh }^{2}x={\text{sech}}^{2}x=1/{\cosh }^{2}x$

$\frac{d}{dx}\coth x=1-{\coth }^{2}x=-{\text{csch}}^{2}x=-1/{\sinh }^{2}x$

$\frac{d}{dx}\text{csch}x=-\coth x\text{csch}x$

$\frac{d}{dx}\text{sech}x=-\tanh x\text{sech}x$

$\frac{d}{dx}\mathrm{arsinh}x=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$

$\frac{d}{dx}\mathrm{arcosh}x=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$

$\frac{d}{dx}\mathrm{artanh}x=\frac{1}{1-x^2}$

$\frac{d}{dx}\mathrm{arcsch}x=-\frac{1}{\left|x\right|\sqrt{1+x^2}}$

$\frac{d}{dx}\mathrm{arsech}x=-\frac{1}{x\sqrt{1-x^2}}$

$\frac{d}{dx}\mathrm{arcoth}x=\frac{1}{1-x^2}$

Standardní integrály

Pro kompletní seznam integrálů přejděte na Seznam integrálů hyperbolických funkcí.

$\int \sinh axdx=a^{-1}\cosh ax+C$

$\int \cosh axdx=a^{-1}\sinh ax+C$

$\int \tanh axdx=a^{-1}\ln (\cosh ax)+C$

$\int \coth axdx=a^{-1}\ln (\sinh ax)+C$

$\int \frac{du}{\sqrt{a^2+u^2}}={\sinh }^{-1}\left(\frac{u}{a}\right)+C$

$\int \frac{du}{\sqrt{u^2-a^2}}={\cosh }^{-1}\left(\frac{u}{a}\right)+C$

$\int \frac{du}{a^2-u^2}=a^{-1}{\tanh }^{-1}\left(\frac{u}{a}\right)+C;u^2<a^2$

$\int \frac{du}{a^2-u^2}=a^{-1}{\coth }^{-1}\left(\frac{u}{a}\right)+C;u^2>a^2$

$\int \frac{du}{u\sqrt{a^2-u^2}}=-a^{-1}{\mathrm{sech}}^{-1}\left(\frac{u}{a}\right)+C$

$\int \frac{du}{u\sqrt{a^2+u^2}}=-a^{-1}{\mathrm{csch}}^{-1}\left|\frac{u}{a}\right|+C$

kde C je integrační konstanta.

Související články

• Hyperbola

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat
• Šablona:EnHyperbolické funkce Šablona:Wayback na PlanetMath
• Šablona:EnHyperbolické funkce na MathWorld