Hyperbolický kotangens

coth(x)

Hyperbolický kotangens je hyperbolická funkce. Značí se coth(x).

Definice

Hyperbolický kotangens je definován pomocí hyperbolického kosinu a hyperbolického sinu, přičemž

$\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$ a $\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$, kde e je Eulerovo číslo.

Tedy $\coth x=\frac{\cosh x}{\sinh x}=\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}$ $=\frac{e^{2x}+1}{e^{2x}-1}=\frac{1+e^{-2x}}{1-e^{-2x}}$

Hyperbolický kotangens lze rovněž definovat pomocí imaginárního úhlu jako:

$\coth x=i\cot (ix)$, kde i je imaginární číslo definované jako $i^2$ = −1.

Inverzní funkcí k hyperbolickému kotangens je hyperbolometrická funkce argument hyperbolického kotangens (argcoth x).

Vlastnosti

• Hyperbolický kotangens je lichá funkce, je tedy splněna podmínka:

$\coth (-x)=-\coth (x)$

• Definiční obor funkce coth(x):

$ℝ-\{0\}$

• Obor hodnot funkce coth(x):

$(-\mathrm{\infty };-1)\cup (1;\mathrm{\infty })$

Vzorečky

${\coth }^{2}x=1+{\mathrm{csch}}^{2}x$, kde funkce csch je funkce kosekans

$\coth (2x)=\frac{1+{\coth }^2(x)}{2\coth (x)}$

$\coth (x+y)=\frac{\coth (x).\coth (y)+1}{\coth (y)+\coth (x)}$

Derivace

$\frac{d}{dx}\coth x=1-{\coth }^{2}x=-{\text{csch}}^{2}x=-1/{\sinh }^{2}x$

Integrál

$\int \coth xdx=\ln (\sinh x);x>0$

$\int \coth xdx=\ln (-\sinh x);x<0$

Šablona:Goniometrické funkce