Ortogonální doplněk

Z testwiki
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání
Ortogonální doplněk roviny procházející počátkem je v prostoru ℝ3 normálová přímka.

V matematice tvoří ortogonální doplněk množiny M všechny vektory, které jsou na prvky dané množiny kolmé. Značí se M⊥.

Ortogonální doplněk se využívá v lineární algebře a funkcionální analýze. Má řadu aplikací, např. v teorii relativity.

Definice

Ortogonální doplněk množiny M ve vektorovém prostoru V se skalárním součinem je množina M⊥ všech vektorů z V které jsou kolmé na všechny vektory z M, formálně:

M⊥={𝒗∈V:∀𝒖∈M:⟨𝒗,𝒖⟩=0}

Ukázka

Ortogonální doplněk množiny M={(1,3−2)T,(3,5,6)T} v prostoru ℝ3 vzhledem ke standardnímu skalárnímu součinu tvoří všechny vektory 𝒗 takové, že ⟨𝒗,(1,3−2)T⟩=0 a zároveň ⟨𝒗,(3,5,6)T⟩=0.

Souřadnice hledaných vektorů 𝒗 lze popsat homogenní soustavou lineárních rovnic:

v1+3v2−2v3=03v1+5v2+6v3=0

neboli soustavou 𝑨𝒗=0, kde řádky matice 𝑨 tvoří vektory množiny M.

Řešením soustavy neboli jádrem matice 𝑨, a tedy i ortogonálním doplňkem množiny M je M⊥=ker⁡𝑨={c(−7,3,1)T:c∈ℝ}.

Geometricky lze doplněk M⊥ interpretovat jako normálu k rovině U určené počátkem a body množiny M. Nenulové vektory této přímky jsou kolmé nejenom na oba vektory z M, ale na všechny vektory roviny U.

Jinými slovy, M⊥ je nejen ortogonální doplněk řádků matice 𝑨, ale zároveň i ortogonálním doplňkem U⊥ jejího řádkového prostoru U, t.j. prostoru obsahujícího všechny lineární kombinace obou řádků 𝑨.

Zobecnění pro bilineární formy

Pokud pro vektory 𝒖 a 𝒗 z vektorového prostoru V nad tělesem T s bilineární formou B platí, že B(𝒖,𝒗)=0, potom 𝒖 je zleva kolmý (ortogonální) k 𝒗, a také 𝒗 je k 𝒖 kolmý zprava. Pro podmnožinu M prostoru V se levý ortogonální doplněk W⊥ definuje jako:

W⊥={𝒗∈V:∀𝒖∈M:B(𝒗,𝒖)=0}

Analogicky lze definovat pravý ortogonální doplněk. Pro bilineární formu, splňující ∀𝒖,𝒗∈V:B(𝒖,𝒗)=0⟹B(𝒗,𝒖)=0, se levý a pravý doplněk shodují. Uvedený případ nastává, například pokud B je symetrická nebo antisymetrická bilineární forma.

Definici doplňku lze rozšířit pro bilineární formy na volném modulu nad komutativními okruhy a pro seskvilineární formy rozšířené tak, aby obsahovaly jakýkoli volný modul na komutativním okruhu s konjugací.

Vlastnosti zobecněného doplňku

  • Ortogonální doplněk je podprostorem vektorového prostoru V.
  • Pokud M⊆N, pak M⊥⊇N⊥.
  • Doplněk V⊥ celého prostoru V je podprostorem každého ortogonálního doplňku.
  • M⊆(M⊥)⊥
  • Pokud je forma B nedegenerovaná a U je podprostorem prostoru V konečné dimenze, potom platí: dim⁡U+dim⁡U⊥=dim⁡V.

Vlastnosti

Pro ortogonální doplněk na unitárním prostoru V platí všechny vlastnosti uvedené v předchozím odstavci a dále:

  • M⊥={𝒗∈V:∀𝒖∈M:⟨𝒗,𝒖⟩=0}={𝒗∈V:∀𝒖∈M:⟨𝒖,𝒗⟩=0}
  • M⊥∩(span⁡M)={0}

Kolmost dvou vektorů 𝒖 a 𝒗 splňuje: ⟨𝒖,𝒗⟩=0⟺∀c∈ℂ:‖𝒖‖≤‖𝒖+c𝒗‖, a tak ortogonální doplněk podprostoru U prostoru V lze zapsat jako množinu:

  • U⊥={𝒗∈V:∀ 𝒖∈U:‖𝒗‖≤‖𝒗+𝒖‖}

Každý uzavřený podprostor U Hilbertova prostoru V má navíc vlastnosti:

  • (U⊥)⊥=U
  • Prostor V má ortogonální rozklad V=U⊕U⊥ kde ⊕ značí přímý součet dvou podprostorů.

Speciálními případy Hilbertových prostorů jsou unitární prostory konečné dimenze. V nich je vždy zaručeno, že dim⁡U+dim⁡U⊥=dim⁡V.

Maticové prostory

Je-li 𝑨 reálná či komplexní matice typu m×n a symboly R𝑨, S𝑨 a ker⁡𝑨 značí řádkový prostor, sloupcový prostor a jádro matice 𝑨, resp., tak tyto prostory jsou vzájemnými ortogonálními doplňky:

  • (R𝑨)⊥=ker⁡𝑨
  • (S𝑨)⊥=ker⁡(𝑨T)

Aplikace

Ve speciální teorii relativity se ortogonální doplněk používá k určení současné nadroviny v bodě světočáry. Bilineární forma η použitá v Minkowského prostoru určuje pseudoeuklidovský prostor událostí. Počátek a všechny události na světelném kuželu jsou samy k sobě ortogonální. Když bilineární forma zobrazí časovou a prostorovou událost na nulu, pak jsou tyto události hyperbolicky ortogonální. Uvedená terminologie vychází z použití dvou sdružených hyperbol v pseudoeuklidovské rovině: sdružené průměry těchto hyperbol jsou hyperbolicky ortogonální.

Odkazy

Reference

Šablona:Překlad

Literatura

Související články

Šablona:Autoritní data

Citováno z „https://cs.wiki.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=Ortogonální_doplněk&oldid=4229“