Konvergence v míře

Konvergence v míře je jeden ze dvou různých matematických konceptů, které zobecňují koncept konvergence náhodných proměnných.

Definice

Nechť $f,f_n(n\in \mathbb{N}):X\to ℝ$ jsou měřitelné funkce na prostoru s mírou $(X,\mathrm{\Sigma },\mu )$. O posloupnosti $f_n$ řekneme, že konverguje globálně v míře k $f,$ pokud pro každé $\epsilon >0$ platí

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mu (\{x\in X:|f(x)-f_n(x)|\ge \epsilon \})=0$,

a že konverguje lokálně v míře k $f,$ pokud pro každé $\epsilon >0$ a každou funkci $F\in \mathrm{\Sigma }$, jejíž míra je konečná ($\mu (F)<\mathrm{\infty }$), platí

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mu (\{x\in F:|f(x)-f_n(x)|\ge \epsilon \})=0$.

Na konečném prostoru s mírou jsou oba pojmy ekvivalentní. Jinak může konvergence v míře znamenat buď globální konvergenci v míře, anebo lokální konvergenci v míře, podle autora.

Vlastnosti

V následujícím textu jsou f a f_n (n $\in$ N) měřitelné funkce X → R.

• Globální konvergence v míře implikuje lokální konvergenci v míře. Opak však neplatí; tj. obecně lokální konvergence v míře je striktně slabší než globální konvergence v míře.
• Pokud však $\mu (X)<\mathrm{\infty }$ nebo, obecněji, pokud f a všechny f_n zanikají mimo nějakou množinu konečné míry, pak rozdíl mezi lokální a globální konvergencí v míře mizí.
• Pokud μ je σ-konečná a (f_n) konverguje (lokálně nebo globálně) k f v míře, existuje vybraná posloupnost konvergující k f skoro všude. Předpoklad σ-konečnosti není nezbytný pro globální konvergenci v míře.
• Pokud μ je σ-konečná, (f_n) konverguje k f lokálně v míře právě tehdy, když každá vybraná posloupnost má naopak vybranou posloupnost, která konverguje k f skoro všude.
• Konkrétně, pokud (f_n) konverguje k f skoro všude, pak (f_n) konverguje k f lokálně v míře. Opak neplatí.
• Fatouovo lemma a věta o monotonní konvergenci platí, pokud konvergenci skoro všude nahradíme (lokální nebo globální) konvergencí v míře.
• Pokud μ je σ-konečná, platí také Lebesgueova věta, pokud konvergenci skoro všude nahradíme (lokální nebo globální) konvergencí v míře.
• Pokud X = ⟨a,b⟩ ⊆ R a μ je Lebesgueova míra, pak existuje posloupnost (g_n) schodovitých funkcí a spojitých funkcí (h_n) konvergujících globálně v míře k f.
• Pokud f a f_n (n ∈ N) jsou v L^p(μ) pro nějaké p > 0 a (f_n) konverguje k f v p-normě, pak (f_n) konverguje k f globálně v míře. Opak neplatí.
• Pokud f_n konverguje k f v míře a g_n konverguje k g v míře pak f_n + g_n konverguje k f + g v míře. Pokud je navíc prostor s mírou konečný, f_ng_n konverguje také k fg.

Protipříklady

Nechť $X=ℝ$, μ je Lebesgueova míra a f konstantní funkce s hodnotou nula.

• Posloupnost $f_n={\chi }_{⟨n,\mathrm{\infty })}$ konverguje k f lokálně v míře, ale nekonverguje k f globálně v míře.
• Posloupnost $f_n={\chi }_{⟨\frac{j}{2^k},\frac{j+1}{2^k}⟩}$ kde $k=\lfloor {\log }_{2}n\rfloor$ a $j=n-2^k$ (Jejích prvních pět členů je ${\chi }_{⟨0,1⟩},{\chi }_{⟨0,\frac{1}{2}⟩},{\chi }_{⟨\frac{1}{2},1⟩},{\chi }_{⟨0,\frac{1}{4}⟩},{\chi }_{⟨\frac{1}{4},\frac{1}{2}⟩}$) konverguje k 0 globálně v míře; ale pro žádné x nekonverguje f_n(x) k nule. Tedy (f_n) nekonverguje k f skoro všude.

• Posloupnost $f_n=n{\chi }_{⟨0,\frac{1}{n}⟩}$ konverguje k f skoro všude a globálně v míře; nekonverguje však v p-normě pro jakékoli $p\ge 1$.

Topologie

Existuje topologie, nazývaná topologie (lokální) konvergence v míře, na kolekci měřitelných funkcí z X takových, že lokální konvergence v míře odpovídá konvergenci na této topologii. Tato topologie je definována vztahem rodiny pseudometrik

$\{{\rho }_F:F\in \mathrm{\Sigma },\mu (F)<\mathrm{\infty }\},$

kde

${\rho }_F(f,g)=\underset{F}{\int }\min \{|f-g|,1\}d\mu$.

Obecně se můžeme omezit na nějakou podrodinu množin F (místo na všechny podmnožiny konečné míry). Stačí, aby pro každé $G\subset X$ konečné míra a $\epsilon >0$ existovala v rodině funkce F taková, že $\mu (G\setminus F)<\epsilon .$ Když $\mu (X)<\mathrm{\infty }$, stačí uvažovat pouze jednu metriku ${\rho }_X$, takže topologie konvergence v konečné míře je metrizovatelná. Pokud $\mu$ je libovolná míra (konečná nebo nekonečná), pak

$d(f,g):=\inf {\mathrm{\backslash limits}}_{\delta >0}\mu (\{|f-g|\ge \delta \})+\delta$

stále definuje metriku, která generuje globální konvergenci v míře.Šablona:Sfn

Protože tato topologie je generována rodinou pseudometrik, je uniformizovatelná. Pokud pracujeme s uniformními strukturami místo topologií, můžeme formulovat uniformní vlastnosti jako například Cauchyovskost.

Odkazy

Literatura

• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie

Související články

• Prostor konvergence