Komplexně sdružená matice

V matematice je komplexně sdružená matice, která vzniká záměnou všech prvků dané komplexní matice za komplexně sdružená čísla. Zobrazení, které přiřazuje matici její komplexně sdruženou matici, je vždy bijektivní, lineární a je involucí. Mnoho parametrů komplexně sdružených matic, jako je stopa, determinant a vlastní čísla, jsou komplexně sdružené s odpovídajícími parametry výchozí matice.

Komplexně sdružená matice se například používá při definici hermitovské transpozice, která vzniká komplexním sdružením a transpozicí dané matice. Kromě toho se komplexně sdružená matice používá také při definici konjugované podobnosti matic.

Definice

Je-li $𝑨\in {ℂ}^{m\times n}$ komplexní matice

$𝑨=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{1,1}& \dots & a_{1,n}\\ ⋮& & ⋮\\ a_{m,1}& \dots & a_{m,n}\end{array}\right)$

pak odpovídající komplexně sdružená matice $\overline{𝑨}\in {ℂ}^{m\times n}$ je definovaná předpisem

$\overline{𝑨}=\left(\begin{array}{ccc}{\overline{a}}_{1,1}& \dots & {\overline{a}}_{1,n}\\ ⋮& & ⋮\\ {\overline{a}}_{m,1}& \dots & {\overline{a}}_{m,n}\end{array}\right)$

Někdy se komplexně sdružená matice značí ${𝑨}^{\ast }$, ačkoli tento symbol bývá užíván také pro hermitovskou transpozicí.

Ukázka

Komplexně sdružená matice k matici:

$𝑨=\left(\begin{array}{ccc}1& 2+\mathrm{i}& 3-2\mathrm{i}\\ 4i& -5& -6-3\mathrm{i}\end{array}\right)\in {ℂ}^{2\times 3}$

je matice:

$\overline{𝑨}=\left(\begin{array}{ccc}1& 2-\mathrm{i}& 3+2\mathrm{i}\\ -4\mathrm{i}& -5& -6+3\mathrm{i}\end{array}\right)\in {ℂ}^{2\times 3}$

Komplexně sdružená matice ke komplexní matici s reálnými prvky se shoduje s výchozí maticí.

Vlastnosti

Pro všechny matice $𝑨,𝑩\in {ℂ}^{m\times n}$, $𝑪\in {ℂ}^{n\times k}$ a všechny skaláry $z\in ℂ$ platí:

$\overline{z\cdot 𝑨}=\overline{z}\cdot \overline{𝑨}$

$\overline{𝑨+𝑩}=\overline{𝑨}+\overline{𝑩}$

$\overline{𝑨\cdot 𝑪}=\overline{𝑨}\cdot \overline{𝑪}$

$\overline{\overline{𝑨}}=𝑨$

Uvedené identity vyplývají přímo z vlastností komplexně sdružených čísel.

Zobrazení na množině ${ℂ}^{m\times n}$, které matici $𝑨$ přiřadí její komplexně sdruženou matici $\overline{𝑨}$ má následující vlastnosti:

• je vždy bijektivní, lineární a je involucí,
• je automorfismem prostoru ${ℂ}^{m\times n}$ a také obecné lineární grupy $\mathrm{GL}(n,ℂ)$ i maticového okruhu ${ℂ}^{n\times n}$.

Transpozice

Komplexně sdružená matice k transpozici matice se rovná transpozici komplexně sdružené matice:

$\overline{{𝑨}^{𝖳}}={\left(\overline{𝑨}\right)}^{𝖳}$

Uvedená matice se nazývá hermitovskou transpozicí matice $𝑨$ a obvykle se značí ${𝑨}^{𝖧}$.

Inverze

Komplexně sdružená matice k regulární matice $𝑨\in {ℂ}^{n\times n}$ je regulární. Pro komplexně sdruženou matici k inverzi regulární matice platí, že je rovna inverzi komplexně sdružené matice:

$\overline{{𝑨}^{-1}}={\left(\overline{𝑨}\right)}^{-1}$

Exponenciála a logaritmus

Pro maticovou exponenciálu komplexně sdružené matice k čtvercové matici $𝑨\in {ℂ}^{n\times n}$ platí:

$\exp (\overline{𝑨})=\overline{\exp 𝑨}$

Analogický vztah platí pro maticový logaritmus komplexně sdružené matice k regulární komplexní matici:

$\ln (\overline{𝑨})=\overline{\ln 𝑨}$

Vlastnosti

Pro hodnost komplexně sdružené matice k matici $𝑨\in {ℂ}^{m\times n}$ platí:

$\mathrm{rank}\overline{𝑨}=\mathrm{rank}𝑨$

Pro stopu komplexně sdružené matice k čtvercové matici $𝑨\in {ℂ}^{n\times n}$ platí:

$\mathrm{tr}\overline{𝑨}=\overline{\mathrm{tr}𝑨}$

Pro determinant komplexně sdružené matice k čtvercové matice platí:

$\det \overline{𝑨}=\overline{\det 𝑨}$

Pro charakteristický polynom $\overline{𝑨}$ z toho vyplývá:

${\chi }_{\overline{𝑨}}(\lambda )=\det (\lambda 𝐈-\overline{𝑨})=\det \overline{(\overline{\lambda }𝐈-𝑨)}=\overline{\det (\overline{\lambda }𝐈-𝑨)}=\overline{{\chi }_{𝑨}(\overline{\lambda })}$ .

Vlastní čísla $\overline{𝑨}$ jsou komplexně sdružená k vlastním číslům matice $𝑨$. Příslušné vlastní vektory mohou být vybrány tak, že jsou komplexně sdružené k vlastním vektorům původní matice.

Normy

Pro Frobeniovu normu a spektrální normu komplexně sdružené matice k matici $𝑨\in {ℂ}^{m\times n}$ platí $\Vert \overline{𝑨}{\Vert }_F=\Vert 𝑨{\Vert }_F$ a $\Vert \overline{𝑨}{\Vert }_2=\Vert 𝑨{\Vert }_2$.

To platí také pro normy řádkových součtů a sloupcových součtů komplexně sdružené matice $\Vert \overline{𝑨}{\Vert }_1=\Vert 𝑨{\Vert }_1$ a $\Vert \overline{𝑨}{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\Vert 𝑨{\Vert }_{\mathrm{\infty }}$.

Tyto maticové normy jsou proto zachovány při komplexním sdružení.

Použití

Speciální matice

Komplexně sdružené matice se v lineární algebře používají mimo jiné v následujících definicích:

• Hermitovská transpozice je matice, která vzniká komplexním sdružením a transpozicí dané komplexní matice: ${𝑨}^{𝖧}=\overline{{𝑨}^{𝖳}}=(\overline{𝑨}{)}^{𝖳}$
• Hermitovská matice je komplexní čtvercová matice, jejíž transpozice se rovná její komplexně sdružené matici: ${𝑨}^{𝖳}=\overline{𝑨}$
• Šikmá hermitovská matice je komplexní čtvercová matice, jejíž transpozice je rovna záporu jejího komplexně sdružené matici: ${𝑨}^{𝖳}=-\overline{𝑨}$
• Komplexní matice je reálná, právě když je rovna své komplexně sdružené matice: $𝑨=\overline{𝑨}$

Součin s komplexně sdruženou maticí

Pro komplexní číslo $z$ je hodnota součinu $z\overline{z}$ rovna druhé mocnině absolutní hodnoty čísla $z$, a proto je vždy reálná a nezáporná. Pro komplexní čtvercovou matici $𝑨\in {ℂ}^{n\times n}$ nemusí být matice $𝑨\overline{𝑨}$ reálná. Determinant součinu $𝑨\overline{𝑨}$ je nezáporné reálné číslo, protože z věty o součinu determinantů vyplývá:

$\det (𝑨\overline{𝑨})=\det (𝑨)\cdot \det (\overline{𝑨})=\det (𝑨)\cdot \overline{\det (𝑨)}$ .

Vlastní čísla matice $𝑨\overline{𝑨}$ jsou buď reálná, nebo tvoří dvojice komplexně sdružených čísel. Matice $𝑨\overline{𝑨}$ se vyskytuje například při analýze komplexních symetrických matic.

Analogie podobnosti

Teorie podobnosti matic vznikla jako výsledek studia lineárních zobrazení vzhledem k různým bázím. Následující ekvivalence (angl. consimilarity) odpovídá analogicky Šablona:Mezijazykový odkaz:

Dvě čtvercové matice $𝑨,𝑩\in {ℂ}^{n\times n}$ jsou ekvivalentní, existuje-li regulární matice $𝑺\in {ℂ}^{n\times n}$ taková, že platí:

$𝑩={𝑺}^{-1}𝑨\overline{𝑺}$

Lze ukázat, že uvedený vztah platí pro dvě regulární matice $𝑨,𝑩\in {ℂ}^{n\times n}$, právě když matice $𝑨\overline{𝑨}$ je podobná matici $𝑩\overline{𝑩}$.

Odkazy

Literatura

• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie

Související články

• Hermitovská matice

Externí odkazy

• Šablona:MathWorld