Afinní konexe

Afinní konexe je geometrický objekt na hladké varietě, který spojuje okolní tečné prostory. Pojem afinní konexe má své kořeny v geometrii 19. století a tenzorových počtech, ale nebyl plně rozvinutý až do roku 1920, kdy jej popsali Élie Cartan (jako součást jeho obecné teorie konexí) a Hermann Weyl (který používal tento pojem, jako součást jeho základů pro obecnou teorii relativity).

Definice

Nechť M je hladká varieta a C^∞(M,TM) je prostor vektorových polí na M, která je prostorem hladké sekce tečného bandlu TM. Potom afinní konexe na M je a bilineární zobrazení:

$\begin{array}{ccc}{C}^{\mathrm{\infty }}(M,TM)\times C^{\mathrm{\infty }}(M,TM)& \to & C^{\mathrm{\infty }}(M,TM)\\ (X,Y)& \mapsto & {\mathrm{\nabla }}_{X}Y,\end{array}$

taková, že pro všechny hladké funkce f v C^∞(M,R) a všechna vektorová pole X, Y na M:

1. ${\mathrm{\nabla }}_{fX}Y=f{\mathrm{\nabla }}_{X}Y$, to znamená, že $\mathrm{\nabla }$ je C^∞(M,R)-lineární v první proměnné;
2. ${\mathrm{\nabla }}_X(fY)=\mathrm{d}f(X)Y+f{\mathrm{\nabla }}_{X}Y$, to znamená, že $\mathrm{\nabla }$ splňuje Leibnizovo pravidlo ve druhé proměnné.