Eulerův–Maclaurinův vzorec

Eulerův–Maclaurinův vzorec je v matematice vzorec pro rozdíl mezi integrálem a sumou tento integrál aproximující. Lze jej použít pro aproximaci integrálů konečnými součty nebo opačně pro vyhodnocení konečných součtů a nekonečných řad pomocí integrálů a numerické řešení úloh infinitezimálního počtu. Z tohoto vzorce je odvozeno mnoho asymptotických rozvojů, a jeho bezprostředním důsledkem je Faulhaberův vzorec pro sumu mocnin.

Vzorec objevili okolo roku 1735 nezávisle Leonhard Euler a Colin Maclaurin. Euler jej potřeboval pro výpočty pomalu konvergujících nekonečných řad, zatímco Maclaurin jej používal pro vypočet integrálů. Později byl zobecněn na Darbouxův vzorec.

Vzorec

Pokud Šablona:Mvar a Šablona:Mvar jsou přirozená čísla a Šablona:Math je reálná nebo komplexní spojitá funkce s reálným parametrem Šablona:Mvar na intervalu $⟨m,n⟩$, pak integrál

$I=\underset{m}{\overset{n}{\int }}f(x)dx$

lze aproximovat součtem (nebo naopak)

$S=f(m+1)+\cdots +f(n-1)+f(n)$

(viz obdélníková metoda). Eulerův–Maclaurinův vzorec poskytuje výrazy pro rozdíl mezi součtem a integrálem s použitím vyšších derivací $f^{(k)}(x)$ vyčíslených v koncových bodech intervalu Šablona:Math a Šablona:Math.

Explicitně pro libovolné kladné celé číslo Šablona:Mvar a libovolnou funkci Šablona:Math, která je Šablona:Mvar krát diferencovatelná na intervalu $⟨m,n⟩$, platí

$S-I=\sum _{k=1}^p\frac{B_k}{k!}(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(m))+R_p,$

kde Šablona:Mvar je Šablona:Mvar-té Bernoulliho číslo (s $B_1=\frac{1}{2}$) a Šablona:Mvar je chybový člen, který závisí na Šablona:Mvar, Šablona:Mvar, Šablona:Mvar, a Šablona:Mvar a obvykle je pro vhodné hodnoty Šablona:Mvar malý.

Vzorec se často píše tak, že dolní index nabývá pouze sudých hodnot, protože lichá Bernoulliho čísla jsou nula kromě pro Šablona:Math:

$\sum _{i=m}^{n}f(i)=\underset{m}{\overset{n}{\int }}f(x)dx+\frac{f(n)+f(m)}{2}+\sum _{k=1}^{\lfloor \frac{p}{2}\rfloor }\frac{B_{2k}}{(2k)!}(f^{(2k-1)}(n)-f^{(2k-1)}(m))+R_p,$

nebo alternativně

$\sum _{i=m+1}^{n}f(i)=\underset{m}{\overset{n}{\int }}f(x)dx+\frac{f(n)-f(m)}{2}+\sum _{k=1}^{\lfloor \frac{p}{2}\rfloor }\frac{B_{2k}}{(2k)!}(f^{(2k-1)}(n)-f^{(2k-1)}(m))+R_p.$

Zbytkový člen

Protože integrál obvykle není přesně roven součtu, obsahuje vzorec zbytkový člen. Vzorec lze odvodit opakovanou aplikací integrace per partes na sebe navazujících intervalech $⟨r,r+1⟩$ pro Šablona:Math. Hraniční členy v těchto integracích dávají hlavní členy vzorce, a zbylé integrály tvoří zbytkový člen.

Zbytkový člen lze přesně vyjádřit pomocí periodizované Bernoulliho funkce Šablona:Math. Bernoulliho polynomy je možné definovat rekurzivně vztahem Šablona:Math a, pro Šablona:Math,

$\begin{array}{cc}{B_k}^{\prime }(x)& =k{B}_{k-1}(x),\\ \underset{0}{\overset{1}{\int }}{B}_k(x)dx& =0.\end{array}$

Periodizovaná Bernoulliho funkce je definována vztahem

$P_k(x)=B_k(x-\lfloor x\rfloor ),$

kde Šablona:Math označuje největší celé číslo menší nebo rovné Šablona:Mvar, takže Šablona:Math vždy leží v intervalu $⟨0,1)$.

S touto notací je zbytkový člen Šablona:Mvar roven

$R_p=(-1{)}^{p+1}\underset{m}{\overset{n}{\int }}{f}^{(p)}(x)\frac{P_p(x)}{p!}dx.$

Pro Šablona:Math lze ukázat, že

$|B_k(x)|\le \frac{2\cdot k!}{(2\pi {)}^k}\zeta (k),$

kde Šablona:Mvar je Riemannova funkce zeta; jednou z možností, jak tuto nerovnost dokázat, je použít Fourierovu řadu pro polynomy Šablona:Math. Meze jsou dosaženy pro sudé Šablona:Mvar, pokud Šablona:Math. Člen Šablona:Math lze pro lichá Šablona:Mvar vynechat, ale důkaz je v tomto případě složitější. Pomocí této nerovnosti lze velikost zbytkového členu odhadnout jako

$\left|R_p\right|\le \frac{2\zeta (p)}{(2\pi {)}^p}\underset{m}{\overset{n}{\int }}|f^{(p)}(x)|dx.$

První členy

Bernoulliho čísla od Šablona:Math do Šablona:Math jsou $\frac{1}{2},\frac{1}{6},0,-\frac{1}{30},0,\frac{1}{42},0$. Proto první členy Eulerova–Maclaurinova vzorce jsou: $\begin{array}{cc}\sum _{n=a+1}^{b}f(n)-\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx& =\frac{f(b)-f(a)}{2}+\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^{\prime }(x)P_1(x)dx\\ & =\frac{f(b)-f(a)}{2}+\frac{1}{6}\frac{f^{\prime }(b)-f^{\prime }(a)}{2!}-\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^{″}(x)\frac{P_2(x)}{2!}dx\\ & =\frac{f(b)-f(a)}{2}+\frac{1}{6}\frac{f^{\prime }(b)-f^{\prime }(a)}{2!}+\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^{‴}(x)\frac{P_3(x)}{3!}dx\\ & =\frac{f(b)-f(a)}{2}+\frac{1}{6}\frac{f^{\prime }(b)-f^{\prime }(a)}{2!}-\frac{1}{30}\frac{f^{‴}(b)-f^{‴}(a)}{4!}-\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^{(4)}(x)\frac{P_4(x)}{4!}dx\\ & =\frac{f(b)-f(a)}{2}+\frac{1}{6}\frac{f^{\prime }(b)-f^{\prime }(a)}{2!}-\frac{1}{30}\frac{f^{‴}(b)-f^{‴}(a)}{4!}+\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^{(5)}(x)\frac{P_5(x)}{5!}dx\\ & =\frac{f(b)-f(a)}{2}+\frac{1}{6}\frac{f^{\prime }(b)-f^{\prime }(a)}{2!}-\frac{1}{30}\frac{f^{‴}(b)-f^{‴}(a)}{4!}+\frac{1}{42}\frac{f^{(5)}(b)-f^{(5)}(a)}{6!}-\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^{(6)}(x)\frac{P_6(x)}{6!}dx\\ & =\frac{f(b)-f(a)}{2}+\frac{1}{6}\frac{f^{\prime }(b)-f^{\prime }(a)}{2!}-\frac{1}{30}\frac{f^{‴}(b)-f^{‴}(a)}{4!}+\frac{1}{42}\frac{f^{(5)}(b)-f^{(5)}(a)}{6!}+\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^{(7)}(x)\frac{P_7(x)}{7!}dx.\end{array}$

Aplikace

Basilejský problém

Basilejský problém je spočítat sumu

$1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\frac{1}{25}+\cdots =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}.$

Euler v roce 1735 vypočítal tento součet na 20 desítkových míst pomocí několika málo členů Eulerova–Maclaurinova vzorce. To jej pravděpodobně přesvědčilo, že součet se rovná $\frac{{\pi }^2}{6}$, což ve stejném roce dokázal.

Součty obsahujícím polynom

Šablona:Podrobně Je-li Šablona:Mvar je Polynom a Šablona:Mvar je dostatečně velké, pak zbytkový člen bude mít nulovou hodnotu. Pokud například Šablona:Math, můžeme zvolit Šablona:Math po zjednodušení dostaneme

$\sum _{i=0}^n{i}^3={\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)}^2.$

Aproximace integrálů

Vzorec poskytuje prostředek pro aproximaci integrálu na omezeném intervalu. Nechť Šablona:Math jsou koncové body intervalu integrace. Zvolíme Šablona:Mvar – počet bodů použitých pro aproximaci, takže velikost kroku bude

$h=\frac{b-a}{N-1}$

a Šablona:Math, tedy Šablona:Math a Šablona:Math. Dostáváme

$\begin{array}{cc}I& =\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\\ & \sim h(\frac{f(x_1)}{2}+f(x_2)+\cdots +f(x_{N-1})+\frac{f(x_N)}{2})+\frac{h^2}{12}[f^{\prime }(x_1)-f^{\prime }(x_N)]-\frac{h^4}{720}[f^{‴}(x_1)-f^{‴}(x_N)]+\cdots \end{array}$

Tento vzorec můžeme chápat jako rozšíření lichoběžníkového pravidla o opravné členy. Tento asymptotický rozvoj obvykle nekonverguje – existuje určité Šablona:Mvar, závisející na Šablona:Mvar a Šablona:Mvar, takové, že členy od řádu Šablona:Mvar rychle rostou. Na zbytkový člen je tedy třeba dávat velký pozor.

Eulerův–Maclaurinův vzorec se používá také pro podrobnou analýzu chyb při numerické integraci. Vysvětluje vynikající výkonnost lichoběžníkové metody pro hladké periodické funkce a používá se v určitých extrapolačních metodách. Clenshawova-Curtisova kvadratura je v zásadě substituce, která převádí libovolný integrál na integrály periodických funkcí, kde je Eulerův–Maclaurinův přístup velmi přesný (v tomto určitém případě má Eulerův–Maclaurinův vzorec tvar diskrétní kosinové transformace). Tato technika se někdy nazývá periodizační transformace.

Asymptotický rozvoj součtů

Při výpočtech asymptotických rozvojů součtů a řad je obvykle nejužitečnější tento tvar Eulerova–Maclaurinova vzorce:

$\sum _{n=a}^{b}f(n)\sim \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx+\frac{f(b)+f(a)}{2}+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{2k}}{(2k)!}(f^{(2k-1)}(b)-f^{(2k-1)}(a)),$

kde Šablona:Mvar a Šablona:Mvar jsou celá čísla. Rozvoj zůstává často platný dokonce i po limitním přechodu Šablona:Math, Šablona:Math nebo obou. V mnoha případech lze integrál na pravé straně vyčíslit v uzavřeném tvaru pomocí elementárních funkcí, přestože součet na levé straně takto vyjádřit nelze. Pak lze pomocí elementárních funkcí vyjádřit všechny členy asymptotické řady. Například

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(z+k{)}^2}\sim \underset{=\frac{1}{z}}{\underbrace{\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{(z+k{)}^2}dk}}+\frac{1}{2z^2}+\sum _{t=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{2t}}{z^{2t+1}}.$

Zde je levá strana rovna Šablona:Math, jmenovitě polygamma funkci prvního řádu definované vztahem

${\psi }^{(1)}(z)=\frac{d^2}{d{z}^2}\log \mathrm{\Gamma }(z);$

Gama funkce Šablona:Math je rovna Šablona:Math, je-li Šablona:Mvar je přirozené číslo. Dostáváme asymptotický rozvoj pro Šablona:Math. Naopak tento rozvoj slouží jako východisko pro jedno z odvození přesného odhadu chyby ve Stirlingově vzorci pro funkci faktoriál.

Příklady

Je-li Šablona:Mvar celé číslo větší než 1, dostáváme:

$\sum _{k=1}^n\frac{1}{k^s}\approx \frac{1}{s-1}+\frac{1}{2}-\frac{1}{(s-1)n^{s-1}}+\frac{1}{2n^s}+\sum _{i=1}\frac{B_{2i}}{(2i)!}[\frac{(s+2i-2)!}{(s-1)!}-\frac{(s+2i-2)!}{(s-1)!n^{s+2i-1}}].$

Pokud sloučíme konstanty do hodnoty Riemannovy funkce zeta, můžeme asymptotický rozvoj zapsat ve tvaru:

$\sum _{k=1}^n\frac{1}{k^s}\sim \zeta (s)-\frac{1}{(s-1)n^{s-1}}+\frac{1}{2n^s}-\sum _{i=1}\frac{B_{2i}}{(2i)!}\frac{(s+2i-2)!}{(s-1)!n^{s+2i-1}}.$

Pro Šablona:Math se výraz zjednoduší na

$\sum _{k=1}^n\frac{1}{k^2}\sim \zeta (2)-\frac{1}{n}+\frac{1}{2n^2}-\sum _{i=1}\frac{B_{2i}}{n^{2i+1}},$

nebo

$\sum _{k=1}^n\frac{1}{k^2}\sim \frac{{\pi }^2}{6}-\frac{1}{n}+\frac{1}{2n^2}-\frac{1}{6n^3}+\frac{1}{30n^5}-\frac{1}{42n^7}+\cdots .$

Pro Šablona:Math dává odpovídající technika asymptotický rozvoj harmonických čísel:

$\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}\sim \gamma +\log n+\frac{1}{2n}-\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{2k}}{2k{n}^{2k}},$

kde Šablona:Math je Eulerova konstanta.

Důkazy

Odvození matematickou indukcí

Následující důkaz uvádí Apostol.

Bernoulliho polynomy Šablona:Math a periodické Bernoulliho funkce Šablona:Math pro Šablona:Math byly zavedeny výše.

Prvních několik Bernoulliho polynomů je

$\begin{array}{cc}{B}_0(x)& =1,\\ B_1(x)& =x-\frac{1}{2},\\ B_2(x)& =x^2-x+\frac{1}{6},\\ B_3(x)& =x^3-\frac{3}{2}{x}^2+\frac{1}{2}x,\\ B_4(x)& =x^4-2x^3+x^2-\frac{1}{30},\\ & ⋮\end{array}$

Hodnoty Šablona:Math jsou Bernoulliho čísla Šablona:Math. Pro Šablona:Math platí

$B_n=B_n(0)=B_n(1),$

a pro Šablona:Math,

$B_1=B_1(0)=-B_1(1).$

Funkce Šablona:Math mají na intervalu $⟨0,1⟩$ stejnou hodnotu jako Bernoulliho polynomy a jsou periodické s periodou 1. Navíc jsou, kromě Šablona:Math, také spojité. Tedy,

$P_n(0)=P_n(1)=B_n\text{pro }n\ne 1.$

Pro celé číslo Šablona:Math uvažujme integrál

$\underset{k}{\overset{k+1}{\int }}f(x)dx=\underset{k}{\overset{k+1}{\int }}udv,$

kde

$\begin{array}{cc}u& =f(x),\\ du& =f^{\prime }(x)dx,\\ dv& =P_0(x)dx& \text{protože }{P}_0(x)& =1,\\ v& =P_1(x).\end{array}$

Integrací per partes dostaneme

$\begin{array}{cc}\underset{k}{\overset{k+1}{\int }}f(x)dx& =[uv{]}_k^{k+1}-\underset{k}{\overset{k+1}{\int }}vdu\\ & =[f(x)P_1(x){]}_k^{k+1}-\underset{k}{\overset{k+1}{\int }}{f}^{\prime }(x)P_1(x)dx\\ & =B_1(1)f(k+1)-B_1(0)f(k)-\underset{k}{\overset{k+1}{\int }}{f}^{\prime }(x)P_1(x)dx.\end{array}$

Použitím $B_1(0)=-\frac{1}{2}$, $B_1(1)=\frac{1}{2}$ a sečtením výše uvedených výrazů od Šablona:Math do Šablona:Math, dostaneme

$\begin{array}{cc}\underset{0}{\overset{n}{\int }}f(x)dx& =\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(x)dx+\cdots +\underset{n-1}{\overset{n}{\int }}f(x)dx\\ & =\frac{f(0)}{2}+f(1)+\cdots +f(n-1)+\frac{f(n)}{2}-\underset{0}{\overset{n}{\int }}{f}^{\prime }(x)P_1(x)dx.\end{array}$

Přičtením $\frac{f(n)-f(0)}{2}$ k oběma stranám a přeskupením členů dostaneme

$\sum _{k=1}^{n}f(k)=\underset{0}{\overset{n}{\int }}f(x)dx+\frac{f(n)-f(0)}{2}+\underset{0}{\overset{n}{\int }}{f}^{\prime }(x)P_1(x)dx.$

Výsledkem je sumační vzorec pro Šablona:Math. Pro pokračování indukce aplikujeme integraci per partes na chybový člen:

$\underset{k}{\overset{k+1}{\int }}{f}^{\prime }(x)P_1(x)dx=\underset{k}{\overset{k+1}{\int }}udv,$

kde

$\begin{array}{cc}u& =f^{\prime }(x),\\ du& =f^{″}(x)dx,\\ dv& =P_1(x)dx,\\ v& =\frac{1}{2}{P}_2(x).\end{array}$

Výsledek integrace per partes je

$\begin{array}{cc}[uv{]}_k^{k+1}-\underset{k}{\overset{k+1}{\int }}vdu& ={\left[\frac{f^{\prime }(x)P_2(x)}{2}\right]}_k^{k+1}-\frac{1}{2}\underset{k}{\overset{k+1}{\int }}{f}^{″}(x)P_2(x)dx\\ & =\frac{B_2}{2}(f^{\prime }(k+1)-f^{\prime }(k))-\frac{1}{2}\underset{k}{\overset{k+1}{\int }}{f}^{″}(x)P_2(x)dx.\end{array}$

Sečtením od Šablona:Math do Šablona:Math a substitucí za chybový člen nižšího řádu vede ke vzorci pro Šablona:Math:

$\sum _{k=1}^{n}f(k)=\underset{0}{\overset{n}{\int }}f(x)dx+\frac{f(n)+f(0)}{2}+\frac{B_2}{2}(f^{\prime }(n)-f^{\prime }(0))-\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{n}{\int }}{f}^{″}(x)P_2(x)dx.$

Celý postup lze opakovat. Tímto způsobem dostaneme důkaz Eulerova–Maclaurinova sumačního vzorce, který lze formalizovat matematickou indukcí, při níž indukční krok využívá integraci per partes a identit pro periodické Bernoulliho funkce.

Odkazy

Literatura

• Šablona:Citace periodika
• Šablona:Citace elektronické monografie
• Šablona:Citace periodika
• Šablona:Citace monografie

Související články

• Cesàrova sumace
• Eulerova sumace
• Gaussův–Kronrodův vzorec pro numerickou integraci
• Darbouxův vzorec
• Eulerova–Booleova sumace

Externí odkazy

• Šablona:MathWorld