Darbouxův vzorec

Darbouxův vzorec je v matematické analýze vzorec, který objevil Jean Gaston DarbouxŠablona:Sfn pro sumaci nekonečné řady pomocí integrálů nebo vyhodnocování integrálů pomocí nekonečné řady. Je zobecněním Eulerova–Maclaurinova sumačního vzorce na komplexní rovinu. Ten se používá pro podobné účely a odvozuje se podobným způsobem (opakovanou integrací per partes určité volby integrálu). Darbouxův vzorec lze použít pro odvození Taylorovy řady v infinitezimálním počtu.

Tvrzení

Pokud φ(t) je polynom stupně n, a f analytická funkce, pak

$\begin{array}{cc}& \sum _{m=0}^n(-1{)}^m(z-a{)}^m[{\phi }^{(n-m)}(1)f^{(m)}(z)-{\phi }^{(n-m)}(0)f^{(m)}(a)]\\ =& (-1{)}^n(z-a{)}^{n+1}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\phi (t)f^{(n+1)}[a+t(z-a)]dt.\end{array}$

Vzorec lze dokázat opakovanou integrací per partes.

Speciální případy

Pokud se jako φ v Darbouxově vzorci použije Bernoulliho polynom, vznikne Eulerův–Maclaurinův sumační vzorec. Jestliže se jako φ použije (t − 1)^n, vyjde vzorec pro Taylorovu řadu.

Odkazy

Literatura

• Šablona:Citace periodika
• Šablona:Citace monografie

Externí odkazy

• Darbouxův vzorec v MathWorld