Eulerova konstanta

Šablona:Možná hledáte Eulerova konstanta nebo též Eulerova–Mascheroniho konstanta je matematická konstanta používaná v teorii čísel a v analýze. O této konstantě není známo, zda je racionální, či iracionální.

Eulerova konstanta je přibližně 0,577 215 664 901 532 860 606 512 090 082 402 431 042 159 335 939 92 … .

Definice

Nejsnadněji lze tuto konstantu definovat jako následující limitu:

$\gamma =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots +\frac{1}{n}-\ln n)$

Je obecně známo, že harmonická řada vyskytující se v limitě je řadou divergentní, má tedy nekonečný součet. To, že výše uvedená limita je vlastní, naznačuje skutečnost, že pro velká $n$ je možné částečný součet harmonické řady aproximovat až na Eulerovu konstantu přirozeným logaritmem.

Geometrická představa

Obsah modré plochy se rovná Eulerově konstantě

Hodnotu konstanty $\gamma$ si lze představit i geometricky. U grafů funkci

$f(x)=\frac{1}{\lfloor x\rfloor },$

$g(x)=\frac{1}{x},$

kde $\lfloor x\rfloor$ značí (dolní) celou část čísla $x$, je obsah plochy mezi těmito dvěma grafy pro x od 1 do nekonečna právě roven Eulerově konstantě $\gamma$:

$\gamma =\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(\frac{1}{\lfloor x\rfloor }-\frac{1}{x})dx.$

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat
• Šablona:MathWorld