Elementární matice

V lineární algebře se elementární maticí nazývá čtvercová matice, která vznikne z jednotkové matice provedením jedné (řádkové) elementární operace. Elementární matice řádu $n$ s prvky z komutativního tělesa $T$ generují obecnou lineární grupu $G{L}_n(T)$. Maticový součin s elementární maticí zleva reprezentuje elementární řádkové operace, zatímco součin zprava reprezentuje elementární sloupcové operace.

Elementární řádkové operace se používají v Gaussově eliminační metodě pro převod matice na odstupňovaný tvar, případně v Gaussově–Jordanově eliminační metodě pro další převod matice na redukovaný odstupňovaný tvar.

Elementární řádkové operace

Existují tři typy elementárních matic, které odpovídají třem typům řádkových operací (případně sloupcovým operacím):

Záměna řádků

Řádek matice může být prohozen s jiným řádkem, např. $i$-tý řádek s $j$-tým, pro $i\ne j$:

$R_i\leftrightarrow R_j$

Násobení řádku

Každý prvek v $i$-tém řádku je vynásoben nenulovou konstantou.

$k{R}_i\to R_i,\text{kde }k\ne 0$

Přičtení násobku řádku

Řádek může být nahrazen součtem tohoto řádku s násobkem jiného řádku.

$R_i+k{R}_j\to R_i,\text{kde }i\ne j$

Je-li $𝑬$ elementární matice, čili, jak je popsáno níže, $𝑬$ je jedna z matic ${𝑻}_{ij},{𝑫}_i(m)$ a ${𝑳}_{ij}(m)$, pak provedení elementární řádkové operace na matici $𝑨$ odpovídá součinu matice $𝑨$ s elementární maticí zleva, neboli $𝑬𝑨$.

Elementární matici pro jakoukoli řádkovou operaci lze získat provedením elementární řádkové operace na jednotkovou matici. Tento fakt lze chápat jako instanci Jonedova lemmatu aplikovaného na kategorii matic.

Záměna řádků

Šablona:Viz též Prvním typem elementární řádkové operace je záměna všech prvků $i$-tého řádku s odpovídajícími prvky $j$-tého řádku dané matice $𝑨$. Příslušnou elementární matici ${𝑻}_{ij}$ získáme z jednotkové matice záměnou $i$-tého a $j$-tého řádku.

${𝑻}_{i,j}=\left(\begin{array}{c}1\\ & \ddots \\ & & 1\\ & & & 0& 0& \cdots & 0& 1\\ & & & 0& 1& & & 0\\ & & & ⋮& & \ddots & & ⋮\\ & & & 0& & & 1& 0\\ & & & 1& 0& \cdots & 0& 0\\ & & & & & & & & 1\\ & & & & & & & & & \ddots \\ & & & & & & & & & & 1\end{array}\right)$

Formálně:

$({𝑻}_{i,j}{)}_{k,l}=\{\begin{array}{cc}1& \text{pro }(k,l)=(i,j)\text{ nebo }(k,l)=(j,i),\\ 1& \text{pro }k=l\ne i,j,\\ 0& \text{jinak}.\end{array}$

Matice vzniklá vzájemnou záměnou $i$-tého a $j$-tého řádku v matici $𝑨$ je rovna matici ${𝑻}_{ij}𝑨$.

Vlastnosti

• Matice ${𝑻}_{ij}$ je sama k sobě inverzní: ${𝑻}_{ij}^{-1}={𝑻}_{ij}$.
• Determinant matice ${𝑻}_{ij}$ je roven minus jedné: $\det {𝑻}_{ij}=-1$. Pro každou čtvercovou matici $𝑨$ odpovídající velikosti platí: $\det ({𝑻}_{ij}𝑨)=-\det 𝑨$.

Nenulový násobek řádku

Dalším typem elementární řádkové operace na je vynásobení všech prvků v $i$-tém řádku dané matice $𝑨$ nenulovým skalárem $m$ z tělesa $T$ (obvykle jde o reálné nebo komplexní číslo). Příslušná elementární matice ${𝑫}_i(m)$ je diagonální matice, jejíž všechny prvky na diagonále jsou jedničky, kromě $i$-té pozice obsahující $m$.

${𝑫}_i(m)=\left(\begin{array}{ccccccc}1& & & & & & \\ & \ddots & & & & & \\ & & 1& & & & \\ & & & m& & & \\ & & & & 1& & \\ & & & & & \ddots & \\ & & & & & & 1\end{array}\right)$

Formálně:

$({𝑫}_i(m){)}_{k,l}=\{\begin{array}{cc}m& \text{pro }k=l=i,\\ 1& \text{pro }k=l\ne i,\\ 0& \text{jinak}.\end{array}$

Matice vzniklá z $𝑨$ vynásobením $i$-tého řádku číslem $m$ je rovna matici ${𝑫}_i(m)𝑨$.

Vlastnosti

• Inverzní matice k ${𝑫}_i(m)$ je diagonální. Platí: $({𝑫}_i(m){)}^{-1}={𝑫}_i(1/m)$.
• Determinant splňuje: $\det ({𝑫}_i(m))=m$. Pro čtvercovou matici $𝑨$ odpovídající velikosti platí $\det ({𝑫}_i(m)𝑨)=m\det 𝑨$.

Přičtení násobku řádku

Posledním typem řádkové operace je přičtení $m$-násobku $j$-tého řádku k $i$-tému řádku matice $𝑨$, kde $m$ je libovolný skalár. Příslušná elementární matice ${𝑳}_{ij}(m)$ je trojúhelníková matice vzniklá z jednotkové matice doplněním hodnoty $m$ na pozici $(i,j)$.

${𝑳}_{ij}(m)=\left(\begin{array}{ccccccc}1& & & & & & \\ & \ddots & & & & & \\ & & 1& & & & \\ & & & \ddots & & & \\ & & m& & 1& & \\ & & & & & \ddots & \\ & & & & & & 1\end{array}\right)$

Formálně:

$({𝑳}_{i,j}(m){)}_{k,l}=\{\begin{array}{cc}m& \text{pro }(k,l)=(i,j),\\ 1& \text{pro }k=l,\\ 0& \text{jinak}.\end{array}$

Přičtení $m$-násobku $j$-tého řádku k $i$-tému řádku v matici $𝑨$ dává matici ${𝑳}_{ij}(m)𝑨$.

Vlastnosti

• Odpovídající transformace jsou určitým druhem zkosení (Šablona:Vjazyce2).
• Inverzní matice k ${𝑳}_{ij}(m)$ je trojúhelníková. Platí: $({𝑳}_{ij}(m){)}^{-1}={𝑳}_{ij}(-m)$.
• Determinant splňuje $\det ({𝑳}_{ij}(m))=1$. Pro čtvercovou matici $𝑨$ odpovídajícího řádu platí $\det ({𝑳}_{ij}(m)𝑨)=\det 𝑨$.

Elementární sloupcové operace

Elementární sloupcové operace odpovídají součinům s elementárními maticemi zprava:

• Matice vzniklá vzájemnou záměnou $i$-tého a $j$-tého sloupce v matici $𝑨$ je rovna matici $𝑨{𝑻}_{ij}$.

• Matice vzniklá z $𝑨$ vynásobením $i$-tého sloupce skalárem $m$ je rovna matici $𝑨{𝑫}_i(m)$.

• Přičtení $m$-násobku $j$-tého sloupce k $i$-tému sloupci v matici $𝑨$ dává matici $𝑨{𝑳}_{ij}(m)$.

Společné vlastnosti

Elementární operace záměna řádků a přičtení násobku řádku lze odvodit z operací násobku řádků a prostého přičtení řádku (čili přičtení 1-násobku).

Formálně:

• ${𝑳}_{ij}(m)={𝑫}_j(1/m)\cdot {𝑳}_{ij}(1)\cdot {𝑫}_j(m)$ neboli přičtení $m$-násobku $j$-tého řádku k $i$-tému lze realizovat jako posloupnost operací:
  • vynásobení $j$-tého řádku nenulovým skalárem $m$,
  • přičtení již vynásobeného $j$-tého řádku k $i$-tému,
  • vydělením $j$-tého řádku nenulovým skalárem $m$ se obnoví jeho původní hodnoty.

• ${𝑻}_{ij}={𝑫}_j(-1)\cdot {𝑳}_{ij}(1)\cdot {𝑳}_{ji}(-1)\cdot {𝑳}_{ij}(1)$, přičemž za ${𝑳}_{ji}(-1)$ lze dosadit součin ${𝑫}_j(-1)\cdot {𝑳}_{ij}(1)\cdot {𝑫}_j(-1)$ podle předchozího předpisu a získat ${𝑻}_{ij}={𝑫}_j(-1)\cdot {𝑳}_{ij}(1)\cdot {𝑫}_j(-1)\cdot {𝑳}_{ij}(1)\cdot {𝑫}_j(-1)\cdot {𝑳}_{ij}(1)$.

V důsledku stačí uvažovat jen operace násobku a přičtení, je-li třeba dokázat, že elementární operace zachovávají vybrané vlastnosti matic, jako např. hodnost nebo jádro. Argumenty mohou být jednodušší i z toho důvodu, že matice ${𝑫}_i(m)$ a ${𝑳}_{ij}(1)$ se od jednotkové matice liší pouze v jednom prvku.

Analogické vztahy platí i pro sloupcové operace.

Odkazy

Literatura

• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace elektronické monografie

Související články

• Gaussova eliminační metoda
• Lineární algebra
• Soustava lineárních rovnic
• Matice
• LU rozklad
• Frobeniova matice