Pravděpodobnostní vytvořující funkce

Pravděpodobnostní vytvořující funkce diskrétní náhodné proměnné je v teorii pravděpodobnosti mocninná řada reprezentace (vytvořující funkce) pravděpodobnostní funkce náhodné proměnné. Pravděpodobnostní vytvořující funkce se často používají pro svůj stručný popis posloupnosti pravděpodobností Pr(X = i) v pravděpodobnostní funkci pro náhodnou veličinu X a díky tomu, že zpřístupňují dobře rozvinutou teorii mocninných řad s nezápornými koeficienty.

Definice

Jednorozměrný případ

Pokud X je diskrétní náhodná proměnná nabývající nezáporných celočíselných hodnot {0,1, ...}, pak pravděpodobnostní vytvořující funkce náhodné proměnné X je definována jako

$G(z)=\mathrm{E}(z^X)=\sum _{x=0}^{\mathrm{\infty }}p(x)z^x,$

kde p je pravděpodobnostní funkce náhodné proměnné X. Jméno náhodné proměnné se často doplňuje jako dolní index: G_X a p_X, aby se zdůraznilo, že se funkce týkají určité náhodné proměnné X a jejího rozdělení pravděpodobnosti. Mocninná řada konverguje absolutně alespoň pro všechna komplexní čísla z s |z| ≤ 1; v mnoha případech je poloměr konvergence větší.

Vícerozměrný případ

Pokud Šablona:Nowrap je diskrétní náhodná proměnná nabývající hodnoty v d-rozměrné nezáporné celočíselné mřížce {0,1, ...}^d, pak pravděpodobnostní vytvořující funkce náhodné proměnné X je definována jako

$G(z)=G(z_1,\dots ,z_d)=\mathrm{E}(z_1^{X_1}\cdots z_d^{X_d})=\sum _{x_1,\dots ,x_d=0}^{\mathrm{\infty }}p(x_1,\dots ,x_d)z_1^{x_1}\cdots z_d^{x_d},$

kde p je pravděpodobnostní funkce náhodné proměnné X. Mocninná řada konverguje absolutně alespoň pro všechny komplexní vektory Šablona:Nowrap s Šablona:Nowrap.

Vlastnosti

Mocninná řada

Pro pravděpodobnostní vytvořující funkci platí všechna pravidla pro mocninné řady s nezápornými koeficienty. Konkrétně G(1⁻) = 1, kde G(1⁻) = lim_z→1G(z) zdola, protože součet pravděpodobností musí být roven jedné. Podle Abelovy věty pro mocninné řady s nezápornými koeficienty musí být poloměr konvergence jakékoli pravděpodobnostní vytvořující funkce alespoň 1.

Pravděpodobnosti a střední hodnota

Následující vlastnosti umožňují odvození různých základních veličin vycházejících z X:

1. Pravděpodobnostní funkci náhodné proměnné X lze získat z derivací funkce G,
      $p(k)=\mathrm{Pr}(X=k)=\frac{G^{(k)}(0)}{k!}.$
2. Z vlastnosti 1 plyne, že pokud náhodné proměnné X a Y mají stejné pravděpodobnostní vytvořující funkce (G_X = G_Y), pak p_X = p_Y. Čili pokud X a Y mají stejné pravděpodobnostní vytvořující funkce, pak mají stejné rozdělení.
3. Normalizaci hustoty pravděpodobnosti lze vyjádřit pomocí vytvořující funkce
      $\mathrm{E}(1)=G(1^{-})=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}p(i)=1.$
   střední (očekávaná) hodnota náhodné proměnné X je
      $\mathrm{E}(X)=G^{\prime }(1^{-}).$
   Obecněji k-tý faktoriálový moment, $\mathrm{E}(X(X-1)\cdots (X-k+1))$ náhodné proměnné X je
      $\mathrm{E}\left(\frac{X!}{(X-k)!}\right)=G^{(k)}(1^{-}),k\ge 0.$
   Takže rozptyl náhodné proměnné X je
      $\mathrm{Var}(X)=G^{″}(1^{-})+G^{\prime }(1^{-})-{[G^{\prime }(1^{-})]}^2.$
   Navíc k-tý obecný moment náhodné proměnné X je
       $\mathrm{E}(X^k)={\left(z\frac{\partial }{\partial z}\right)}^{k}G(z){|}_{z=1^{-}}$
4. Platí $G_X(e^t)=M_X(t)$, kde X je náhodná proměnná, $G_X(t)$ je pravděpodobnostní vytvořující funkce (náhodné proměnné X) a $M_X(t)$ je momentová vytvořující funkce (náhodné proměnné X) .

Funkce nezávislých náhodných proměnných

Pravděpodobnostní vytvořující funkce jsou užitečné pro práci s funkcemi nezávislých náhodných proměnných. Například:

• Pokud X₁, X₂, ..., X_N je posloupnost nezávislých náhodných proměnných (které mohou mít i různá rozdělení pravděpodobnosti) a

$S_N=\sum _{i=1}^N{a}_i{X}_i,$

kde a_i jsou konstanty, pak pravděpodobnostní vytvořující funkce je

$G_{S_N}(z)=\mathrm{E}(z^{S_N})=\mathrm{E}\left(z^{\sum _{i=1}^N{a}_i{X}_i,}\right)=G_{X_1}(z^{a_1})G_{X_2}(z^{a_2})\cdots G_{X_N}(z^{a_N}).$

Jestliže například

$S_N=\sum _{i=1}^N{X}_i,$

pak pravděpodobnostní vytvořující funkce G_SN(z), je

$G_{S_N}(z)=G_{X_1}(z)G_{X_2}(z)\cdots G_{X_N}(z).$

Z uvedeného také plyne, že pravděpodobnostní vytvořující funkce rozdílu dvou nezávislých náhodných proměnných S = X₁ − X₂ je

$G_S(z)=G_{X_1}(z)G_{X_2}(1/z).$

• Předpokládejme, že N je také nezávislá diskrétní náhodná proměnná nabývající nezáporných celočíselných hodnot s pravděpodobnostní vytvořující funkcí G_N. Pokud X₁, X₂, ..., X_N jsou nezávislé náhodné veličiny se stejným rozdělením pravděpodobnosti a s obvyklou pravděpodobnostní vytvořující funkcí G_X, pak

$G_{S_N}(z)=G_N(G_X(z)).$

To plyne z věty o celkové střední hodnotě:

$\begin{array}{cc}{G}_{S_N}(z)& =\mathrm{E}(z^{S_N})=\mathrm{E}(z^{\sum _{i=1}^N{X}_i})\\ & =\mathrm{E}(\mathrm{E}(z^{\sum _{i=1}^N{X}_i}\mid N))=\mathrm{E}((G_X(z){)}^N)=G_N(G_X(z)).\end{array}$

Tento poslední fakt je užitečný při studiu Galtonových–Watsonových procesů a složených Poissonových procesů.

• Opět předpokládejme, že N je nezávislá diskrétní náhodná proměnná nabývající nezáporné celočíselné hodnoty s pravděpodobnostní vytvořující funkcí G_N a hustotou pravděpodobnosti $f_i=\mathrm{Pr}\{N=i\}$. Pokud X₁, X₂, ..., X_N jsou nezávislé náhodné proměnné, které nemají stejné rozdělení, a $G_{X_i}$ jsou pravděpodobnostní vytvořující funkce náhodné proměnné $X_i$, pak

$G_{S_N}(z)=\sum _{i\ge 1}{f}_i\prod _{k=1}^i{G}_{X_i}(z).$

Pro X_i se stejným rozdělením se vzorec zjednodušuje na identitu uvedenou výše. Obecný případ bývá užitečný pro získání rozkladu S_N pomocí vytvořující funkce.

Příklady

• Pravděpodobnostní vytvořující funkce konstantní náhodné proměnné, tj. rozdělení s Pr(X = c) = 1, je

$G(z)=z^c.$

• Pravděpodobnostní vytvořující funkce binomické náhodné proměnné, počet úspěchů v n pokusech s pravděpodobností úspěchu p v každém pokusu je

$G(z)={[(1-p)+pz]}^n.$

Jde o n-násobný součin pravděpodobnostní vytvořující funkce pro alternativní (Bernoulliho) rozdělení s parametrem p.

Takže pravděpodobnostní vytvořující funkce spravedlivé mince je

$G(z)=1/2+z/2.$

• Pravděpodobnostní vytvořující funkce negativní binomické náhodné proměnné na {0,1,2 ...}, počet neúspěchů dokud r-tého úspěchu s pravděpodobností úspěchu v každém pokusu p je

$G(z)={\left(\frac{p}{1-(1-p)z}\right)}^r.$

(konverguje pro $|z|<\frac{1}{1-p}$).

Jde o r-násobný součin pravděpodobnostní vytvořující funkce geometrické náhodné proměnné s parametrem 1 − p na {0,1,2,...}.

• Pravděpodobnostní vytvořující funkce Poissonovy náhodné proměnné s parametrem λ je

$G(z)=e^{\lambda (z-1)}.$

Příbuzné koncepty

Pravděpodobnostní vytvořující funkce je příkladem vytvořující funkce posloupnosti (viz formální mocninná řada). Je ekvivalentní Z-transformaci pravděpodobnostní funkce a někdy se tak i nazývá.

K dalším vytvořujícím funkcím náhodných proměnných patří momentová vytvořující funkce, charakteristická funkce a kumulantová vytvořující funkce. Pravděpodobnostní vytvořující funkce je také ekvivalentní s faktoriálovou momentovou vytvořující funkcí, která jako $\mathrm{E}\left[z^X\right]$ může být také uvažována pro spojité a jiné náhodné proměnné.

Odkazy

Literatura

• Šablona:Citace monografie