Jednostranná limita

Jednostranná limita je v infinitezimálním počtu libovolná z limit funkce f(x) reálné proměnné x, u nichž se x přibližuje k zadanému bodu buď zleva nebo zprava.

Levá limita – limita pro x blížící se k bodu a „zprava“ („shora“) se značí

$\underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)$, $\underset{x\downarrow a}{\lim }f(x)$, $\underset{x\searrow a}{\lim }f(x)$, případně $\underset{x\underset{>}{⟶}a}{\lim }f(x)$,

pravá limita – limita pro x blížící se k bodu a „zleva“ („zdola“) se značí

$\underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)$, $\underset{x\uparrow a}{\lim }f(x)$, $\underset{x\nearrow a}{\lim }f(x)$, případně $\underset{x\underset{<}{⟶}a}{\lim }f(x)$

V teorii pravděpodobnosti je obvyklé používat zkrácenou notaci:

$f(x-)$ pro levou limitu a $f(x+)$ pro pravou limitu.

Existence oboustranné limity

Obě jednostranné limity existují a jsou si rovné, jestliže limita funkce f(x) pro x blížící se hodnotě a existuje. V některých případech, kdy limita

$\underset{x\to a}{\lim }f(x)$

neexistuje, mohou existovat obě jednostranné limity. Proto se limita pro x blížící se k bodu a bez omezení z jaké strany někdy nazývá „oboustranná limita“.

V některých případech jedna jednostranná limita existuje a druhá ne, v některých případech neexistuje ani jedna.

Limitu zprava lze přesně definovat jako

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }\delta >0\mathrm{\forall }x\in I(0<x-a<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon ),$

a limita zleva jako

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }\delta >0\mathrm{\forall }x\in I(0<a-x<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon ),$

kde Šablona:Mvar je interval v definičním oboru funkce Šablona:Mvar.

Příklady

Příklad funkce, která má v bodě 0 dvě různé jednostranné limity:

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{1+2^{-1/x}}=1,$

zatímco

$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{1}{1+2^{-1/x}}=0.$

Vztah k topologické definici limity

Jednostranná limita v bodě p odpovídá obecné definici limity, s definiční oborem funkce omezeným na jednu stranu; buď omezením, kdy definiční obor funkce je podmnožinou topologického prostoru nebo uvažováním jednostranného podprostoru obsahujícího p. Alternativně můžeme uvažovat definiční obor s topologií polootevřených intervalů.

Abelova věta

Významná věta zabývající se jednostrannými limitami určitých mocninných řad na hranicích jejich poloměru konvergence je Abelova věta.

Odkazy

Související články

• Projektivně rozšířená reálná osa
• Semi-derivovatelnost
• Limes superior a limes inferior

Externí odkazy

• one-sided limit – jednostranná limita na serveru PlanetMath