Limes superior a limes inferior

Postupné přibližování $\underset{m\ge n}{\sup }{x}_m$ k $\mathrm{lim\; sup}{x}_n$ a obdobně pro limes inferior

V matematice, zejména v matematické analýze, se pod limes superior a limes inferior dané posloupnosti rozumí její omezení seshora, respektive zespoda, „v nekonečnu“, tedy hodnota, přes, respektive pod, kterou se posloupnost dostane pouze v konečně mnoha případech, ale které se skutečně nekonečně jejích hodnot nekonečně blízko blíží, nebo jí dokonce nabývají. Jedná se o největší respektive nejmenší hromadný bod dané posloupnosti.

Uvažují se nejčastěji v reálných číslech.

Případ posloupností v reálných číslech

Formální definice

Buď $(a_n)$ reálná posloupnost. Je-li $(a_n)$ shora ohraničená, klademe limes superior

$\mathrm{lim\; sup}{a}_n:=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left(\underset{k\ge n}{\sup }{a}_k\right)$

V opačném případě klademe $\mathrm{lim\; sup}{a}_n=\mathrm{\infty }$.

Je-li $(a_n)$ zdola ohraničená, klademe limes inferior

$\mathrm{lim\; inf}{a}_n:=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left(\underset{k\ge n}{\inf }{a}_k\right)$

V opačném případě klademe $\mathrm{lim\; inf}{a}_n=-\mathrm{\infty }$.

Limes superior a limes inferior tedy pro reálná čísla nabývají hodnoty z množiny rozšířených reálných čísel.

Vlastnosti

• Limes superior a limes inferior vždy existují (na rozdíl například od limity, která existovat nemusí)
• Limita posloupnosti $a_n$ existuje právě tehdy, když $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{a}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{a}_n.$
• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{a}_n\le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{a}_n$
• $-\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{a}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}(-a_n).$

Literatura

• Šablona:Citace monografie

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat