Kroneckerovo delta

Kroneckerovo delta je matematická funkce dvou proměnných, obvykle celých čísel. Je pojmenovaná po Leopoldu Kroneckerovi (1823-1891). Tato funkce se rovná 1, když se proměnné rovnají, a 0 v ostatních případech. Tak například ${\delta }_{12}=0$, ale ${\delta }_{33}=1$. Zapisuje se symbolem pomocí řeckého písmene delta: δ_ij, a je pokládáno spíše za zkrácený zápis než za funkci.

${\delta }_{ij}=\{\begin{array}{cc}1& \text{je-li }i=j\\ 0& \text{je-li }i\ne j\end{array}$

nebo, při použití Iversonových závorek:

${\delta }_{ij}=[i=j]$

Vlastnosti delta funkce

Kroneckerovo delta má tzv. sítové vlastnosti, totiž pro $j\in \mathbb{Z}$:

$\sum _{i=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\delta }_{ij}{a}_i=a_j.$

Tato vlastnost se podobá jedné z hlavních vlastností Diracovy delta funkce:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\delta (x-y)f(x)dx=f(y),$

a ve skutečnosti byla Diracova delta funkce pojmenována podle Kroneckerova delta, protože má analogické vlastnosti. Kroneckerovo delta se používá v mnoha oblastech matematiky. Například v lineární algebře lze jednotkovou matici napsat jako ${\delta }_{ij}$ zatímco tenzor, Kroneckerův tenzor, lze napsat ${\delta }_i^j$ s kontravariantním indexem j. To je přesnější způsob zápisu jednotkové matice, považované za lineární zobrazení.

Zobecnění delta funkce

Ve stejném duchu můžeme analogicky definovat vícedimenzionální funkci mnoha proměnných

${\delta }_{i_1,i_2,\dots ,i_n}^{j_1,j_2,\dots ,j_n}:=\prod _{k=1}^n{\delta }_{i_k,j_k}$.

Tato funkce nabývá hodnotu 1 tehdy a jen tehdy, když všechny horní indexy jsou stejné jako dolní indexy, a nabývá hodnotu nula ve všech ostatních případech.

Kroneckerovo delta jako tenzor

V diferenciální nebo Riemannově geometrii se využívá obecnější zavedení Kroneckerova delta - zavádí se jako tenzor druhého řádu, který je na varietě M definován jako

${\delta }_{\underset{\_}{n}}^{\underset{\_}{m}}={\delta }_j^i{\mathrm{d}}_{\underset{\_}{n}}{x}^j\otimes \frac{{\mathit{\partial }}^{\underset{\_}{m}}}{\mathit{\partial }{x}^i},$

nebo v souřadnicovém zápisu jen jako ${\delta }_j^i$ tak, že ${\delta }_j^i=1$ je-li $i=j$ a ${\delta }_j^i=0$ jinak. Takto zavedený objekt se chová jako tenzor a jeho hodnota je stejná ve všech soustavách souřadnic. Pokud indexy $\delta$ snížíme, nebo zvýšíme, může být hodnota ${\delta }^{ij}$, resp. ${\delta }_{ij}$, obecně jiná.

Související články

• Levi-Civitův symbol
• Diracovo delta
• Diracova míra
• izotropní tenzor