Pravidelný mnohoúhelník

Šablona:Infobox - mnohoúhelník Šablona:Koláž Pravidelný mnohoúhelník je mnohoúhelník, který má všechny úhly stejně velké a všechny strany stejně dlouhé. Může být konvexní nebo hvězdicový.

Obecné vlastnosti

Tyto vlastnosti se týkají i konvexních i hvězdicových pravidelných mnohoúhelníků.

• Všechny vrcholy pravidelného mnohoúhelníku leží na stejné kružnici (kružnice opsaná). Společně se stejnou délkou stran to znamená, že má i kružnici vepsanou, která se dotýká každé strany v jejím středu.
• Pravidelný n-úhelník je konstruovatelný Eukleidovskou konstrukcí tehdy a jen tehdy, když jsou liché dělitele n různá Fermatova prvočísla.
• Pravidelné mnohoúhelníky jsou symetrické.
• Pravidelný n-úhelník má n os souměrnosti, je-li n sudé číslo, pak má i střed souměrnosti.

Pravidelné konvexní mnohoúhelníky

Galerie

• 
  Rovnostranný trojúhelník
• 
  Čtverec
• 
  Pětiúhelník
• 
  Šestiúhelník
• 
  Sedmiúhelník
• 
  Osmiúhelník
• 
  Devítiúhelník
• 
  Desetiúhelník
• 
  Jedenáctiúhelník
• 
  Dvanáctiúhelník
• 
  Třináctiúhelník
• 
  Čtrnáctiúhelník

Úhly

Pro každý pravidelný konvexní n-úhelník platí, že každý vnitřní úhel je veliký

$(1-\frac{2}{n})\times 180$ (neboli $(n-2)\times \frac{180}{n}$ ) stupňů

neboli $\frac{(n-2)\pi }{n}$ radiánů

a každý vnější úhel (doplňkový k vnitřnímu úhlu) je veliký $\frac{360}{n}$ stupňů.

Úhlopříčky

Pro $n>2$ je počet úhlopříček $\frac{n(n-3)}{2}$.

Pro n-úhelník vepsaný do jednotkové kružnice je součin vzdáleností od jednoho vrcholu ke všem ostatním vrcholům (včetně sousedních) je rovný n.

Poloměry

Poloměr kružnice opsané pravidelnému mnohoúhelníku s délkou strany s je:

$r=\frac{s}{2\sin \frac{180}{n}}$

Poloměr kružnice vepsané pravidelnému mnohoúhelníku s délkou strany s je:

$\varrho =\frac{s}{2\tan \frac{180}{n}}$

Pozn.: Délka poloměru kružnice vepsané se rovná délce apotémy, což je úsečka spojující střed se středem libovolné strany

Obsah

Obsah S pravidelného konvexního n-úhelníku s délkou strany s a poloměry kružnic opsané r a vepsané $\varrho$ je:

$S=\frac{1}{4}n{s}^2\text{cotg}\frac{\pi }{n}=\frac{1}{2}n{r}^2\sin \frac{2\pi }{n}=\frac{1}{2}ns\varrho$

Pro pravidelné mnohoúhelníky se stranou s=1 jsou obsahy následující

Strany	Název	Přesná plocha	Přibližná plocha
n	pravidelný n-úhelník	$\frac{n}{4}\text{cotg}\frac{\pi }{n}$
3	rovnostranný trojúhelník	$\frac{\sqrt{3}}{4}$	0,433012702
4	čtverec	1
5	pravidelný pětiúhelník	$\frac{1}{4}\sqrt{25+10\sqrt{5}}$	1,720477401
6	pravidelný šestiúhelník	$\frac{3\sqrt{3}}{2}$	2,598076211
7	pravidelný sedmiúhelník		3,633912444
8	pravidelný osmiúhelník	$2+2\sqrt{2}$	4,828427125
9	pravidelný devítiúhelník		6,181824194
10	pravidelný desetiúhelník	$\frac{5}{2}\sqrt{5+2\sqrt{5}}$	7,694208843
11	pravidelný jedenáctiúhelník		9,365639907
12	pravidelný dvanáctiúhelník	$6+3\sqrt{3}$	11,19615242
13	pravidelný třináctiúhelník		13,18576833
14	pravidelný čtrnáctiúhelník		15,33450194
15	pravidelný patnáctiúhelník	$\frac{15}{4}\sqrt{7+2\sqrt{5}+2\sqrt{15+6\sqrt{5}}}$	17,64236291
16	pravidelný šestnáctiúhelník	$4(1+\sqrt{2}+\sqrt{4+2\sqrt{2}})$	20,10935797
17	pravidelný sedmnáctiúhelník		22,73549190
18	pravidelný osmnáctiúhelník		25,52076819
19	pravidelný devatenáctiúhelník		28,46518943
20	pravidelný dvacetiúhelník	$5(1+\sqrt{5}+\sqrt{5+2\sqrt{5}})$	31,56875757

Ze všech n-úhelníků daného obvodu má pravidelný mnohoúhelník největší plochu.

Pravidelné hvězdicové mnohoúhelníky

Pentagram {5/2}

Nekonvexní pravidelný mnohoúhelník je pravidelný hvězdicový mnohoúhelník. Nejznámějším příkladem je pentagram, který má stejné vrcholy jako pětiúhelník, ale spojuje jiné (všechny zbývající) vrcholy).

Pro každý hvězdicový mnohoúhelník s n stranami se udává Schläfliho symbol, který označuje „hustotu“ m, výsledný symbol je tedy {n/m}. Když je m rovno 2, znamená to, že se spojí každý druhý vrchol. Když je m rovno 3, spojí se každý třetí vrchol atd.

• pentagram - {5/2}
• hexagram - {6/2}
• heptagram - {7/2} a {7/3}
• oktagram - {8/2} a {8/3}
• enneagram - {9/2}, {9/3} a {9/4}
• dekagram - {10/2}, {10/3} a {10/4}
• hendekagram - {11/2}, {11/3}, {11/4} a {11/5}
• dodekagram - {12/2}, {12/3}, {12/4} a {12/5}

Literatura

• Marcela Palková a kolektiv: Průvodce matematikou 2, Didaktis, Brno 2007, Šablona:ISBN, str. 34-37

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat

• Šablona:MathWorld