Devatenáctiúhelník

Devatenáctiúhelník, cizím slovem nonadecagon či enneadecagon (z řec. δεκαεννιά, dekaennia - devatenáct, a γωνία, gonia - úhel), je mnohoúhelník s devatenácti úhly, vrcholy a stranami.

Číselné údaje

Součet středových úhlů je 180°, jeden středový (a zároveň vnější) úhel tedy musí být $\frac{36 0^{\circ}}{19} = 18 {\frac{18}{19}}^{\circ} \approx 18, 947 4^{\circ}$ . Následkem toho je jeden vnitřní úhel $18 0^{\circ} - 18, 947 4^{\circ} \approx 161, 052 6^{\circ}$ , což lze též zapsat složeným zlomkem $161 {\frac{1}{19}}^{\circ}$ . Součet vnitřních úhlů tedy bude $161 {\frac{1}{19}}^{\circ} \cdot 19 = 306 0^{\circ}$ .

Je-li α délka strany, pak:

Obvod: $P = 19 a$
Obsah: $A = \frac{19}{4} a^{2} \cot (\frac{π}{19})$
Min. poloměr: $H = \frac{2 A}{P} = \frac{a}{2} \cot (\frac{π}{19})$
Max. poloměr: $R = \frac{H}{\cos (\frac{π}{19})} = \frac{a}{2 \sin (\frac{π}{19})}$

Rýsování

Pravidelný devatenáctiúhelník nelze narýsovat pouze za pomoci pravítka a kružítka, neboť aby bylo možno daný pravidelný mnohoúhelník narýsovat, musí být všechny jeho liché dělitele být Fermatova čísla ( $F_{n} = 2^{2^{\overset{n}{}}} + 1$ ).

Devatenáct je dělitelné devatenácti, což je liché číslo a přitom není Fermanovo. S menší odchylkou (středový úhel se změní z $18, 947 4^{\circ}$ na $18, 924 6^{\circ}$ , odchylka tedy $0, 022 8^{\circ}$ a celkově $0, 433 2^{\circ}$ ) jej však lze zkonstruovat ve 14 krocích:

Narýsujeme přímku p.
Zkonstruujeme kružnici k s poloměrem r a se středem v bodě I, jež se nalézá na přímce p.
Sestrojíme kružnici l se středem v pravém průsečíku přímky p a kružnice k $J = p \cap k$ a má
Sestrojíme kružnici m se středem v levém průsečíku přímky p a kružnice k $K = p \cap k$ .
Utvoříme přímku q, jež protíná průsečíky kružnic l a m $L = l \cap m$ a $M = l \cap m$ .
Sestrojíme kružnici n, jež má poloměr r a střed v průsečíku J.
Vytvoříme kružnici o, jež má poloměr r a střed v horním průsečíku kružnice k s přímkou q $N = k \cap q$ .
Utvoříme přímku r, jež prochází průsečíky kružnice k s kružnicí n $O = k \cap n$ a $P = k \cap n$ .
Zkonstruujeme přímku s, jež prochází průsečíky kružnice k s kružnicí o $Q = k \cap o$ a $R = k \cap o$ .
Narýsujeme kružnici p se středem v průsečíku přímky p a s $S = p \cap s$ , jež prochází bodem I.
Narýsujeme kružnici q se středem v bodě I, jež prochází průsečíkem S.
Sestrojíme přímku t, jež spojuje průsečíky kružnic p a q $T = p \cap q$ a $U = p \cap q$ .
Zkonstruujeme přímku u, jež prochází průsečíkem K a průsečíkem přímek t a r $V = t \cap r$ .
Přímka u nyní svírá s přímkou p úhel α. Vzdálenost mezi jejich průsečíky s kružnicí k $V = u \cap k$ a $W = p \cap k$ nyní vezmeme do kružítka a po obvodu kružnice si uděláme značky, jež následně pospojujeme.