Osmnáctiúhelník

Osmnáctiúhleník, cizím slovem octadecagon či octakaidecagon (z řec. δεκαοχτώ, dekaochtó – osmnáct, a γωνία, gonia – úhel), je mnohoúhelník s osmnácti stranami a vrcholy.

Popis pravidelného osmnáctiúhelníku

Součet středových úhlů pravidelného osmanáctiúhleníku je 360°, jeden středový úhel je tedy $\frac{36 0^{\circ}}{18} = 2 0^{\circ}$ , což je i hodnota každého vnějšího úhlu.

Jeden vnitřní úhel je $18 0^{\circ} - 2 0^{\circ}$ , součet všech vnitřních úhlů je tedy $16 0^{\circ} \cdot 18 = 288 0^{\circ}$ .

Je-li α délka strany, pak:

obvod: $P = 18 a$
obsah: $A = \frac{18}{4} a^{2} \cot (\frac{π}{18})$
Pravidelný osmnáctiúhelník se všemi možnými spojnicemi vrcholů

minimální poloměr: $H = \frac{2 A}{P} = \frac{a}{2} \cot (\frac{π}{18})$
maximální poloměr: $R = \frac{H}{\cos (\frac{π}{18})} = \frac{a}{2 \sin (\frac{π}{18})}$

Rýsování

Pravidelný osmnáctiúhelník nelze narýsovat pouze za pomoci pravítka a kružítka, neboť aby bylo možno daný pravidelný mnohoúhelník narýsovat, musí být všechny jeho liché dělitele být Fermatova čísla ( $F_{n} = 2^{2^{\overset{n}{}}} + 1$ ).

Osmnáct je dělitelné devíti, což je liché číslo a přitom není Fermanovo. S menší odchylkou (středový úhel se změní z $2 0^{\circ}$ na $19, 9995 3^{\circ}$ , odchylka tedy $0, 0004 7^{\circ}$ a celkově $0, 0084 6^{\circ}$ ) jej však lze zkonstruovat v 19 krocích:

Utvoříme přímku p.
Narýsujeme kružnici k se středem I, jež se nalézá na přímce p.
Vytvoříme kružnici l se středem v pravém průsečíku kružnice k a přímky p $J = k \cap p$ , jejíž poloměr je shodný s průměrem kružnice k.
Vytvoříme kružnici m se středem v levém průsečíku kružnice k a přímky p $K = k \cap p$ , jejíž poloměr je shodný s průměrem kružnice k.
Narýsujeme přímku q, jež protíná průsečíky kružnic l a m $L = l \cap m$ a $M = l \cap m$ .
Narýsujeme kružnici n, jejíž střed se nachází v průsečíku kružnice k a přímky q $N = k \cap q$ , jejíž průměr je shodný s průměrem kružnice k.
Narýsujeme přímku r, jež protíná průsečíky kružnice k s kružnicí n $O = k \cap n$ a $P = k \cap n$ a je kolmá na přímku p.
Zkonstruujeme kružnici o, jejímž středem je průsečík J a jejíž průměr je totožný s průměrem kružnice k.
Narýsujeme přímku s, jež je kolmá na průsečík J.
Utvoříme kružnici p, která má střed v průsečíku N a průměr totožný s poloměrem kružnice k.
Sestrojíme kružnici q, jejíž střed leží v průsečíku kružnice o a přímky s $R = o \cap s$ a jejíž průměr je stejný jako poloměr kružnice k.
Narýsujeme přímku t, jež je kolmá na přímku q v horním průsečíku kružnice p a přímky q $S = p \cap q$ . Zároveň ji lze popsat jako přímku, jež protíná průsečík S a horní průsečík přímky s a kružnice p.
Narýsujeme přímku u, která protíná bod I a průsečík kružnice n a přímky s $T = n \cap s$ .
Sestrojíme kružnici r, která má střed v průsečíku J a prochází průsečíkem přímky u a kružnice k $U = s \cap k$ .
Vytvoříme přímku v, která prochází oběma průsečíky kružnice r s kružnicí k a je tak kolmá na přímku p.
Zkonstruujeme přímku w, která prochází bodem I a průsečíkem přímky r a v $V = r \cap v$ .
Narýsujeme přímku x, která prochází průsečíkem J a průsečíkem přímky w a t $W = w \cap t$ .
Sestrojíme přímku y, jež prochází bodem I a průsečíkem přímek r a x $X = r \cap x$ .
Přímky p a y svírají úhel α. Vezmeme do kružítka vzdálenost mezi jejich průsečíky s kružnicí k $Y = p \cap k$ a $Z = y \cap k$ a po obvodu kružnice k si uděláme značky, jež následně spojíme.

Při tomto rýsování vytvoříme množství kružnic, průsečíků a přímek. Zde je jejich přehled:

Kružnice: k, l, m, n, o, p, q, r
Průsečíky a body: I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R, S, T, U, V, W, Y, Z
Přímky: p, q, r, s, t, u, v, w, x, y

Zajímavosti

Trojúhelník R_A-Q_A-C_B

Zajímavostí je, že pokud k sobě přitiskneme pravidelný osmnáctiúhelník Α a pravidelný devítiúhelník Β (se stejně dlouhými stranami) body A_A a A_B a R_A a B_B a spojíme úsečkou body Q_A a C_B (vrcholu se pojmenovávají proti směru hodinových ručiček), pak vznikne pravidelný rovnostranný trojúhelník R_A-Q_A-C_B.

Součet vnějšího úhlu A a vnějšího úhlu B musí být 60° (vnitřní úhel pravidelného trojúhelníku). Vnější úhel α je 20°, vnější úhel β tedy musí být $β = 6 0^{\circ} - 2 0^{\circ} = 4 0^{\circ}$ . Dává to smysl, neboť osmnáctiúhelník má dvakrát více vrcholů a stran než devítiúhelník.