Slabá kardinální mocnina

Slabá kardinální mocnina je matematický pojem z oboru teorie množin, konkrétněji z oboru kardinální aritmetiky.

Definice

Jsou-li $\kappa$ a $\lambda$ dvě kardinální čísla, pak jejich slabou kardinální mocninu označujeme symbolem ${\kappa }^{<\lambda }$ a definujeme vztahem
${\kappa }^{<\lambda }=\sum _{\mu <\lambda }{\kappa }^{\mu }$ , tj. jako součet všech kardinálních mocnin $\kappa$ s exponentem menším než $\lambda$.

Motivace pro zavedení

Při řešení otázek týkajících se mohutnosti množin se zavádějí dvě speciální podmnožiny potenční množiny:

• $[X{]}^{\lambda }=\{Y\subseteq X:|Y|=\lambda \}$
• $[X{]}^{<\lambda }=\{Y\subseteq X:|Y|<\lambda \}$

Řečeno lidsky: množina všech podmnožin množiny $X$ s mohutností přesně $\lambda$ a množina všech podmnožin množiny $X$ s mohutností menší než $\lambda$

Otázku, jakou má taková množina mohutnost, zodpovídá ve druhém případě právě slabá kardinální mocnina:
Pokud platí $|X|=\kappa$ a $\lambda \le {\kappa }^{+}$ (symbol ${\kappa }^{+}$ je nejmenší kardinální číslo větší než $\kappa$), potom
$|[X{]}^{<\lambda }|={\kappa }^{<\lambda }$

Příklad použití

V článku Kardinální aritmetika je vidět, jak málo toho lze zjistit o chování kardinální mocniny, pokud k axiomům Zermelo-Fraenkelovy teorie množin nepřidáme zobecněnou hypotézu kontinua nebo nějaké jí podobné tvrzení.

Alespoň částečnou představu o průběhu kardinálních mocnin dvojky dává pro regulární kardinály funkce gimel, pro singulární kardinály pak funkce gimel v kombinaci se slabou kardinální mocninou:

Je-li ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$ singulární kardinál, $\beta <\alpha$ takové, že pro každé $\beta \le \gamma <\alpha$ platí ${\mathrm{\aleph }}_{\gamma }={\mathrm{\aleph }}_{\beta }$, potom
$2^{{\mathrm{\aleph }}_{\alpha }}=2^{{\mathrm{\aleph }}_{\beta }}=2^{<{\mathrm{\aleph }}_{\alpha }}$

Je-li ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$ singulární kardinál a pro každé $\beta <\alpha$ existuje $\beta <\gamma <\alpha$, pro které platí ${\mathrm{\aleph }}_{\gamma }>{\mathrm{\aleph }}_{\beta }$, potom
$2^{{\mathrm{\aleph }}_{\alpha }}=\gimel (2^{<{\mathrm{\aleph }}_{\alpha }})$

Související články

• Kardinální aritmetika
• Funkce alef
• Funkce gimel
• Zobecněná hypotéza kontinua
• Hypotéza singulárních kardinálů