Funkce alef

Funkce Alef (značená $\mathrm{\aleph }$ a nazývaná podle prvního hebrejského písmene Alef) se používá v axiomatické teorii množin pro zobrazení, které ordinálnímu číslu $\alpha$ přiřadí kardinální číslo představující $\alpha$-tou nejmenší nekonečnou mohutnost.

Neformální úvod

Aby bylo možno se exaktním způsobem vyjadřovat o velkých množinách a nedostat se přitom do sporu (viz např. Russellův paradox), byla vynalezena axiomatická teorie množin. V ní se zavádějí kardinální čísla pro popsání velikostí (mohutností) množin a ordinální čísla pro popsání postupů, kdy po každém kroku můžeme provést krok následující a po každé (i nekonečné) množině kroků můžeme uvažovat jejich supremum (výsledek po jejich aplikaci).

Příkladem takového postupu je vytváření větších množin z menších:

• Ordinálnímu číslu 0 přiřadíme kardinalitu nejmenší nekonečné (tedy spočetné) množiny. Existuje mnoho spočetných množin, ale jejich velikost je vyjádřena tímtéž kardinálním číslem. To je (v nejběžnější z možných formálních konstrukcí kardinálních čísel) totožné s ordinálním číslem $\omega$, proto platí ${\mathrm{\aleph }}_0=\omega$
• Dalším ordinálním číslům přiřadíme vždy nejmenší větší mohutnost. Taková vždy existuje, protože třída kardinálních čísel je dobře uspořádaná. Proto ${\mathrm{\aleph }}_1$ je kardinalita nejmenší množiny větší, než jsou spočetné množiny, nebo ekvivalentně, ${\mathrm{\aleph }}_1$ je nejmenší kardinální číslo větší než ${\mathrm{\aleph }}_0$.
• ${\mathrm{\aleph }}_2$ je nejmenší kardinální číslo větší než ${\mathrm{\aleph }}_1$ atd.
• Nejbližší další ordinální číslo, pro které musíme funkci definovat, je ${\omega }_0$. Využijeme toho, že ke každé množině M kardinálních čísel existuje její supremum (tj. nejmenší kardinální číslo větší než všechna čísla z té množiny), které lze zkonstruovat jako sjednocení těchto kardinálních čísel. Abychom dodrželi princip, že funkce $\mathrm{\aleph }$ řadí kardinální čísla dle velikosti, definujeme ${\mathrm{\aleph }}_{{\omega }_0}$ jako supremum všech předchozích hodnot, tedy ${\mathrm{\aleph }}_{{\omega }_0}=\bigcup _{\alpha <{\omega }_0}{\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$.
• ${\mathrm{\aleph }}_{{\omega }_0+1}$ pak bude nejmenší kardinální číslo větší než ${\mathrm{\aleph }}_{{\omega }_0}$. Podobně se definuje ${\mathrm{\aleph }}_{{\omega }_0+2}$ atd.
• ${\mathrm{\aleph }}_{{\omega }_0+{\omega }_0}$ pak bude supremum posloupnosti ${\mathrm{\aleph }}_{{\omega }_0+1},{\mathrm{\aleph }}_{{\omega }_0+2},\dots$
• Podobně lze definovat krok pro všechna větší ordinální čísla, včetně nespočetných.

Definice

Funkcí $\mathrm{\aleph }$ rozumíme třídové zobrazení z třídy všech ordinálních čísel do třídy všech kardinálních čísel, které splňuje následující podmínky (věta o transfinitní rekurzi zaručuje, že takové třídové zobrazení existuje a že je určeno jednoznačně):

• ${\mathrm{\aleph }}_0={\omega }_0$
• Pro každé ordinální číslo $\alpha$ je ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha +1}$ rovno nejmenšímu kardinálnímu číslu většímu než ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$
• Pro každé limitní ordinální číslo $\alpha$ je ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }=\bigcup _{\beta <\alpha }{\mathrm{\aleph }}_{\beta }$

V souladu s předpoklady věty o transfinitní rekurzi je funkční hodnota pro každé ordinální číslo definována právě jednou z těchto odrážek; ordinální číslo lze zapsat jako $\alpha +1$, právě když není limitní a není to 0.

Vlastnosti funkce ℵ

Šablona:Pahýl část Mnoho matematických tvrzení lze vyjádřit pomocí této funkce, například Hypotéza kontinua je ekvivalentní s tvrzením „reálná čísla mají mohutnost ${\mathrm{\aleph }}_1$“.

Pevné body

Vzhledem k tomu, jak prudce funkce $\mathrm{\aleph }$ roste (např. v modelech, kde platí Zobecněná hypotéza kontinua, je reálných čísel i spojitých funkcí ${\mathrm{\aleph }}_1$ a všech matematických funkcí je ${\mathrm{\aleph }}_2$), může být překvapivé, že tato funkce má pevné body, tj. že existují ordinální čísla $\alpha$ taková, že ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }=\alpha$. Prvním pevným bodem je limita (tj. supremum) posloupnosti ${\mathrm{\aleph }}_0,{\mathrm{\aleph }}_{{\mathrm{\aleph }}_0},{\mathrm{\aleph }}_{{\mathrm{\aleph }}_{{\mathrm{\aleph }}_0}}\dots$

Odkazy

Související články

• Kardinální číslo
• Ordinální číslo
• Regulární ordinál

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat