Model (logika)

Model (také struktura) je matematický pojem z oblasti matematickologické sémantiky. Je to seskupení objektů, na němž jsou definovány nějaké vztahy (relace) a přiřazení (funkce) tak, že vytváří „realizaci“ nějaké formální teorie.

Definice

Model jazyka

Struktura pro jazyk L (také model jazyka L), který obsahuje z mimologických symbolů konstantní symboly $c_{\alpha };\alpha \in I_K$, funkční symboly $f_{\alpha }$ četností $n_{\alpha };\alpha \in I_F$ a predikátové symboly $p_{\alpha }$ četností $n_{\alpha };\alpha \in I_P$, je množina $A$ nazývaná nosič struktury spolu s konstantami $C_{\alpha }\in A;\alpha \in I_K$, funkcemi $F_{\alpha }:A^{n_{\alpha }}\to A;\alpha \in I_F$ a relacemi $P_{\alpha }\subseteq A^{n_{\alpha }};\alpha \in I_P$. Konstanta $C_{\alpha }$, resp. funkce $F_{\alpha }$, resp. relace $P_{\alpha }$ se nazývá realizací konstantního symbolu $c_{\alpha }$, resp. funkčního symbolu $f_{\alpha }$, resp. predikátového symbolu $p_{\alpha }$ v modelu $A$ a značí se $c_{\alpha }^A$, resp. $f_{\alpha }^A$, resp. $p_{\alpha }^A$. Struktura s nosičem $A$ (a příslušnými realizacemi symbolů) se obvykle značí $𝒜$.

Méně formálně: Jazyk Šablona:Var obsahuje pouze symboly pro konstanty, funkce a predikáty a arity funkcí a predikátů. Model jazyka Šablona:Var přidává množinu $A$ (nosič struktury, např. množinu přirozených čísel) a dodává symbolům jazyka Šablona:Var jejich realizace.

Tarského definice pravdy

V tomto odstavci značí $𝒜$ model jazyka L s mimologickými symboly popsanými výše. Ohodnocení proměnných v modelu $𝒜$ je každá funkce $e$ z množiny všech proměnných do nosiče $A$. Ohodnocení, které se shoduje s ohodnocením $e$ na všech proměnných kromě $x$ a na $x$ má hodnotu $a$, značíme $e(x/a)$.

Realizace termu

Realizace termu $t$ jazyka L při ohodnocení proměnných $e$ v modelu $A$, značíme $t^A⟨e⟩$, se definuje indukcí dle složitosti takto:

• $t^A⟨e⟩=e(x)$, je-li $t$ proměnná $x$
• $t^A⟨e⟩=c_{\alpha }^A$, je-li $t$ konstantní symbol $c_{\alpha }$
• $t^A⟨e⟩=f_{\alpha }^A(t_0^A⟨e⟩,\dots ,t_{n_{\alpha }-1}^A⟨e⟩)$, je-li $t=f_{\alpha }(t_0,\dots ,t_{n_{\alpha }-1})$ a $t_0,\dots ,t_{n_{\alpha }-1}$ jsou termy

Platnost formule

Platnost formule $\phi$ jazyka L při ohodnocení proměnných $e$ v modelu $𝒜$ definujeme indukcí dle složitosti takto ($\phi$ platí v $𝒜$ při ohodnocení $e$ značíme $𝒜\models \phi ⟨e⟩$, $\phi$ neplatí v $𝒜$ při ohodnocení $e$ značíme $𝒜\models ̸\phi ⟨e⟩$):

• Je-li $\phi$ atomická formule tvaru $p_{\alpha }(t_0,\dots ,t_{n_{\alpha }-1})$, pak $𝒜\models \phi ⟨e⟩$, pokud $(t_0^A⟨e⟩,\dots ,t_{n_{\alpha }-1}^A⟨e⟩)\in p_{\alpha }^A$.
• Je-li $\phi$ atomická formule tvaru $t_0=t_1$, pak $𝒜\models \phi ⟨e⟩$, pokud $t_0^A⟨e⟩=t_1^A⟨e⟩$.
• Je-li $\phi$ formule tvaru $\mathrm{\neg }\psi$, pak $𝒜\models \phi ⟨e⟩$ pokud $𝒜\models ̸\psi ⟨e⟩$
• Je-li $\phi$ formule tvaru $\psi \Rightarrow \chi$, pak $𝒜\models \phi ⟨e⟩$ pokud buďto $𝒜\models ̸\psi ⟨e⟩$ nebo $𝒜\models \chi ⟨e⟩$.
• Je-li $\phi$ formule tvaru $(\mathrm{\forall }x)\psi$, pak $𝒜\models \phi ⟨e⟩$, pokud $𝒜\models \psi ⟨e(x/a)⟩$ pro všechna $a\in A$.

Říkáme, že $\phi$ platí v modelu $𝒜$, značíme $𝒜\models \phi$, pokud $𝒜\models \phi ⟨e⟩$ pro každé ohodnocení proměnných $e$.

Model teorie

Je-li T teorie v jazyce L a $𝒜$ struktura pro tento jazyk, pak říkáme, že $𝒜$ je modelem T, značíme $𝒜\models T$, pokud $𝒜\models \phi$ pro každý axiom $\phi$ teorie T.

Příklady

• Množina přirozených čísel spolu s konstantou $0$, binární relací $\le$ a funkcemi $+$, $\cdot$ a $S$ ($S(n)=n+1$) tvoří model Peanovy aritmetiky. Tento model se nazývá standardní model.
• Libovolná grupa je modelem axiomatické teorie grup.

Izomorfismus modelů

Izomorfismem modelů (struktur) $𝒜,ℬ$ téhož jazyka L je taková bijekce $i:A\to B$, která zachovává všechny symboly jazyka L, tj. splňuje:

• $i(c^A)=c^B$ pro každý konstantní symbol c jazyka L
• $i(f^A(a_1,\dots ,a_n))=f^B(i(a_1),\dots ,i(a_n))$ pro každý funkční symbol f jazyka L četnosti n.
• $p^A(a_1,\dots ,a_n)\iff p^B(i(a_1),\dots ,i(a_n))$

Existuje-li izomorfismus modelů $𝒜,ℬ$, říkáme, že jsou tyto modely izomorfní.

Související články

• Vnitřní model
• Teorie modelů
• Morleyova věta o kategoričnosti
• Vaughtova věta
• Löwenheim-Skolemova věta