Morleyova věta o kategoričnosti

Morleyova věta o kategoričnosti je jednou z nejdůležitějších vět teorie modelů. Dokázal ji roku 1962 americký matematik Michael Darwin Morley ve své disertační práci s názvem „Categoricity in Power“. Tuto větu později zobecnil Saharon Shelah.

Znění věty

Kategorická teorie

Řekneme, že teorie T je kategorická v kardinalitě $\kappa$ ($\kappa$-kategorická), jsou-li každé dva modely T mohutnosti $\kappa$ izomorfní.

Morleyova věta pro spočetný jazyk

Původní znění Morleyovy věty z roku 1962 je následující:

Nechť T je teorie v jazyce spočetné kardinality a nechť T je kategorická v nějaké nespočetné kardinalitě. Pak je T kategorická v každé nespočetné kardinalitě.

Shelahovo zobecnění pro libovolný jazyk

Saharon Shelah zobecnil původní Morleyovu větu i na teorie s nespočetným jazykem:

Nechť T je teorie v jazyce kardinality $\lambda$ a nechť T je kategorická v nějaké kardinalitě $\kappa >\lambda$. Pak T je kategorická v každé kardinalitě $\kappa >\lambda$.

Příklady

• Teorie algebraicky uzavřených těles dané charakteristiky p (p=0 nebo prvočíslo) je kategorická v kardinalitě $2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$ (viz funkce alef), tedy je podle Morleyovy věty kategorická v každé nespočetné kardinalitě, ${\mathrm{\aleph }}_0$-kategorická však není.
• Teorie čisté rovnosti je kategorická ve všech (včetně konečných) kardinalitách.
• Teorie hustého lineárního uspořádání bez konců je ${\mathrm{\aleph }}_0$-kategorická, ale není kategorická v žádné nespočetné kardinalitě.
• Stejně tak teorie v jazyce obsahujícím jediný unární predikátový symbol E s axiomy „existuje nekonečně mnoho x takových, že E(x)“, „existuje nekonečně mnoho x takových, že $\mathrm{\neg }E(x)$“ je ${\mathrm{\aleph }}_0$-kategorická, ale není kategorická v žádné nespočetné kardinalitě.

Vlastnosti kategorických teorií

• Pokud je teorie kategorická v nějaké nekonečné kardinalitě a nemá konečné modely, pak je již úplná. To plyne z Löwenheim-Skolemovy věty.

Související články

• Spektrum teorie
• Vaughtova věta