Peanova aritmetika

Peanova aritmetika (PA) je jeden z axiomatických systémů formální teorie aritmetiky. Jde o jednu z nejdůležitějších součástí matematické logiky — slouží například k důkazu slavných Gödelových vět o neúplnosti. Rozšiřuje axiomatiku Robinsonovy aritmetiky o axiomatické schéma indukce. Pojmenována je po italském matematikovi Giuseppem Peanovi.

Axiomy

(PA) je teorie v jazyce aritmetiky. Jejími axiomy jsou axiomy (Q1)–(Q7) Robinsonovy aritmetiky a navíc všechny instance následujícího axiomatického schématu pro formuli $\phi$ jazyka aritmetiky:

• $(\phi (0)\wedge (\mathrm{\forall }x)(\phi (x)\to \phi (Sx)))\to (\mathrm{\forall }x)\phi (x)$ (schéma indukce)

Slovy: Pokud formule platí pro $0$ a zároveň z platnosti formule pro $x$ plyne platnost pro následníka $x$ potom formule platí pro všechna $x$.

Jelikož toto schéma kvantifikuje přes formule $\phi$, což na logické úrovni odpovídá predikátům, tak predikátová logika prvního řádu není dostatečně expresivní pro formalizaci Peanovy aritmetiky a je nutné použít nějakou logiku vyššího řádu. To má praktické důsledky například při snahách o formalizaci aritmetiky pro automatické dokazovače a proof assistanty.

Vlastnosti

• Peanova aritmetika je neúplná a dokonce rekurzivně nezúplnitelná teorie (tj. každá její nadteorie s rekurzivně zadanou množinou axiomů je neúplná). To je tvrzení první Gödelovy věty.
• Peanova aritmetika má $2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$ (viz funkce alef) různých úplných rozšíření.
• Peanova aritmetika je nerozhodnutelná teorie.
• V Peanově aritmetice jsou nedokazatelná následující tvrzení:
  • „Peanova aritmetika je bezesporná“. To říká druhá Gödelova věta.
  • Goodsteinova věta
  • Jisté silnější verze Ramseyovy věty.
• V Peanově aritmetice jsou dokazatelné všechny základní vlastnosti přirozených čísel jako jsou:
  • komutativita a asociativita + a $\cdot$
  • distributivita + vzhledem k $\cdot$
  • linearita uspořádání $\le$
  • existence a jednoznačnost dělení se zbytkem
• V Peanově aritmetice je definovatelná funkce $x^y$, o které jsou dokazatelné všechny její přirozené vlastnosti.
• V Peanově aritmetice lze vyjádřit základní pojmy logické syntaxe i sémantiky jako jsou dokazatelnost nebo bezespornost.
• Peanova aritmetika je ekvivalentní teorii konečných množin (tj. Zermelo-Fraenkelově teorii množin, v níž je axiom nekonečna nahrazen jeho negací).
• První Stoneův prostor Peanovy aritmetiky má mohutnost kontinua.
• Peanova aritmetika nemá spočetný saturovaný model.

Související články

• Peanovy axiomy
• Robinsonova aritmetika
• Presburgerova aritmetika
• Gödelovy věty o neúplnosti